Dubbio sul potenziale efficace

[Antimius]

Ho un problema di meccanica lagrangiana sul moto di un punto materiale con vincolo fisso e olonomo e in presenza di forze conservative e posizionali.

Ho un punto materiale vincolato su un paraboloide \( \displaystyle z=a(x^2+y^2), a\leq0 \) e collegato all'originale da una molla di costante di richiamo \( \displaystyle k\geq0 \) ; sto studiando il moto proiettato sul piano \( \displaystyle Oxy \) , usando le coordinate polari.
Precisamente quello che mi interessa è il moto radiale; tramite la conservazione dell'energia meccanica, dopo alcune semplificazioni ho ottenuto:
\( \displaystyle E=\frac{1}{2}m(1+4a^2\rho^2)\dot\rho^2+\frac{J^2}{2m\rho^2}+\frac{1}{2}ka^2\rho^4 \) con \( \displaystyle J \) momento angolare rispetto all'asse verticale (è una costante del moto).
Ora vorrei svolgere un'analisi qualitativa del moto radiale, trattando quest'equazione come un problema di meccanica unidimensionale.
Potrei introdurre il potenziale efficace \( \displaystyle V_{eff}(\rho)=\frac{J^2}{2m\rho^2}+\frac{1}{2}ka^2\rho^4 \) e in effetti il libro così suggerisce. Ma se \( \displaystyle \frac{1}{2}m \dot\rho^2 \) è l'"energia cinetica", la parte \( \displaystyle \frac{1}{2}m(4a^2\rho^2)\dot\rho^2 \) dove va a finire? E' come se considerassi un problema unidimensionale con massa \( \displaystyle m(1+4a^2\rho^2) \) . Se questa quantità fosse costante non avrei problemi. Quel che non riesco a spiegarmi è: posso condurre la solita analisi qualitativa anche se quella quantità è variabile? Se sì, perché?

Non ho messo troppi dettagli riguardo l'esercizio, perché credo che il dubbio sia generale su come comportarsi in determinate situazioni e non dipenda da quello che ho svolto nella prima parte; ma se avete bisogno di dettagli aggiuntivi, ditemelo.

Grazie!

[Falco5x]

Ma scusa fisicamente la \( \displaystyle \dot \rho \) non è mica la velocità radiale!
Detto \( \displaystyle ds \) un trattino di paraboloide percorso dal corpo in senso radiale, occorre mettere in relazione questo con la variazione della coordinata, ovvero \( \displaystyle d\rho \) .
Facendo qualche semplice calcolo io trovo:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
ds = d\rho \sqrt {1 + 4{a^2}{\rho ^2}} \\
\\
v = \dot s = \dot \rho \sqrt {1 + 4{a^2}{\rho ^2}} \\
\\
T = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m\left( {1 + 4{a^2}{\rho ^2}} \right){{\dot \rho }^2} \\
\end{array} \)

Quindi la cosa mi pare del tutto plausibile.

[Antimius]

Sì, lo so che quella non è la velocità radiale. Infatti anche energia cinetica l'ho messa fra virgolette. Così come il potenziale efficace non è il potenziale del mio sistema, ma è il potenziale del sistema unidimensionale fittizio che sto considerando per studiare quell'equazione.

Ad esempio, anche quando ho un moto centrale, con leggi di conservazione \( \displaystyle \frac{1}{2}m(\dot\rho^2+\rho^2\dot\theta^2)+V(\rho)=E \) e \( \displaystyle J=m\rho^2\dot\theta=\text{cost} \) , quel che faccio per studiare il moto radiale è condurmi a un sistema unidimensionale posizionale che abbia quell'equazione di conservazione dell'energia, così da determinare il moto di \( \displaystyle \rho \) .
Nello specifico: posto, \( \displaystyle V_{eff}(\rho)=V(\rho)+ \frac{J^2}{2m\rho^2} \) (dove ho sostituito \( \displaystyle \dot\theta=\frac{J}{\rho^2 m} \) ), si tratta di svolgere l'analisi qualitativa di \( \displaystyle E=\frac{1}{2}m\dot\rho^2+V_{eff}(\rho) \) .
Però so che l'energia cinetica del mio sistema è \( \displaystyle \frac{1}{2}m(\dot\rho^2+\rho^2\dot\theta^2) \) .

[Falco5x]

Temo di non capire cosa stai cercando.
Nel caso del moto centrale c'è la coincidenza \( \displaystyle \dot \rho \equiv {v_{rad}} \) , per questo nella formula dell'energia cinetica la corrispondenza con il moto unidimensionale appare immediata, mentre nel caso del parabolide questo non è vero. Detto ciò se al posto di \( \displaystyle \dot \rho \sqrt {1 + 4{a^2}{\rho ^2}} \) scrivi \( \displaystyle {v_{rad}} \) , la formula dell'energia cinetica assume la forma unidimensionale classica.

Insomma temo di non aver capito cosa non ti torna.

[Antimius]

Credo di aver fatto un bel po' di confusione.
Il fatto è che per svolgere l'analisi qualitativa di un moto unidimensionale \( \displaystyle x(t) \) con legge di conservazione \( \displaystyle E=\frac{1}{2}m\dot x^2+V(x) \) con \( \displaystyle m\ddot x=-\frac{d}{dt}V(x) \) , studio l'andamento del potenziale \( \displaystyle V \) e lo sfrutto per tracciare le orbite nel piano delle fasi.

Non ho ben chiaro come ricondurmi a questo schema nel caso precedente. Ho capito che sto considerando solo il moto radiale, c'è conservazione di momento angolare e quindi posso studiare il moto come unidimensionale.
Ma come interviene il potenziale efficace in tutto questo? Da quel che ho capito, lo si introduce per ricondursi a uno schema del tipo \( \displaystyle E=\frac{1}{2}m\dot \rho^2+V(\rho) \) , che ha come potenziale proprio il potenziale efficace del nostro sistema, così da riuscire a risolvere facilmente l'equazione del moto.

In ogni caso, grazie per l'aiuto che mi stai dando

[Falco5x]

Guarda, non voglio proseguire oltre perché sul tema non ne so molto neanch'io per cui lascio la parola ad altri più competenti.
Però io non credo che necessariamente la forma dell'energia cinetica debba essere quella semplice che vorresti, perché la derivata nel tempo della coordinata che compare (al quadrato) nella formula dell'energia cinetica può non essere direttamente la velocità ma quest'ultima può essere una sua funzione. Ciò non toglie che quella sia proprio l'energia cinetica. Il resto dell'energia è sicuramente potenziale poiché dipende dalla coordinata (o meglio da una sua funzione) e non dalla sua derivata temporale.
Io più di così non ti so dire.

[Antimius]

Sì, probabilmente è come dici tu. Magari qualcuno ci darà conferme.
Intanto grazie ancora