Formula di d'Alambert

[squalllionheart]

Scusate mi sapreste spigare perchè la $g$ della formula di d'Alambert deve essere una funzione dispari?
Grazie

[alle.fabbri]

Potresti specificare le condizioni al contorno?

[squalllionheart]

certo,
$u_(tt)=4u_(xx)$ $tin(0,oo)$ e $x in(0,oo) $
$u(0,t)=0$
$u(x,0)= (x)(1-x)$ se $x in (0,1)$
$u(x,0)=0$ altrimenti

[alle.fabbri]

Questo perchè per risolvere il problema della corda seminfinita devi prima estendere il problema a tutto l'asse reale. Quindi introduci una $\hat{g}$ che soddisfa il problema globale, sui cui puoi usare la formula di d'Alembert. Dopodichè imponendo la condizione $u(0,t)=0$ ottieni che deve essere dispari. Mi rendo conto che questa è una spiegazione molto sommaria, per approfondire prova a dare un occhiata al Salsa - Equazioni differenziali alle derivate parziali - Complementi ed Esercizi a pagina 225.

[squalllionheart]

Grazie. Ora me lo leggo.

[squalllionheart]

Perfetto.
Mi ero dimenticata la condizione $u_t(x,0)=0$ che impone il fatto $h$ è nulla.
Inoltre per quanto riguarda $bar g$, ho che $bar g $ deve essere dispari per la condizione $u(0,t)=0$ infatti se prendo la soluzione generale privata dell'integrale in $h$ dato che h è nulla rimane
$u(0,t)=1/2[g(-ct)+g(ct)]=0$ che implica $g(ct)=-g(-ct)$.
Giusto?

[alle.fabbri]

Esatto.

[squalllionheart]

perfetto.