piano inclinato privo d'attrito

[Pdirac]

Ho un piano inclinato curvo a scivolo (un quarto di circonferenza) di massa $M$, raggio $R$, poggiato su un piano orizzontale privo d'attrito, con sopra (sullo scivolo) un corpo di massa $m$ ad altezza $R$ da terra che non risente di attrito sullo scivolo. Voglio sapere la velocità finale di quest'ultimo.
Io ho considerato che dato che non sono presenti forza dissipative l'energia si conserva, per cui $2mgh = mv_c^2 + Mv_p^2$ con $v_c$ e $v_p$ velocità del corpo e dello scivolo quando il corpo arriva a terra. Considerando poi l'assenza di forza d'attrito e dunque di forze esterne parallele al terreno, si ha conservazione della componente della quantità di moto parallela al terreno, da cui $mv_c = -Mv_p$.
Mettendo a sistema queste due condizioni ottengo la velocità cercata.
Questo ragionamento é corretto?

Quello che volevo ora fare è risolvere il problema in un altro modo, senza utilizzare i teoremi di conservazione ma procedendo "rozzamente" con l' F=ma. Guardando il problema da questo punto di vista non riesco a vedere qual'è a forza che spinge lo scivolo a muoversi. Ho provato scomponendo la forza peso agente sul corpo in un dato punto in componente normale e parallela allo scivolo, ed andando poi a scomporre ulteriormente le due componenti in parallela e perpendicolare al terreno. In questo modo mi trovo la forza vincolare del terreno, ma come devo ragionare per le componenti ad esso parallele?

[Pdirac]

up

[speculor]

Scusa ma, Pdirac sta per Paul Adrien Maurice Dirac?

[Pdirac]

-.-

[speculor]

Alfabeto Morse?

[Pdirac]

up

[Falco5x]

Vediamo se riesco a darti una traccia di soluzione nel caso in cui si voglia utilizzare al formula $F=ma$.
Prendiamo in considerazione un sistema di riferimento solidale con lo scivolo.
La forza che muove il corpo lungo lo scivolo è la componente tangenziale della forza peso (perché la componente normale è compensata dalla reazione d'appoggio). Questa forza tangenziale può a sua volta venire scomposta in componente orizzontale e componente verticale. La componente orizzontale è quella che interessa, e partendo dalla forza peso la si trova con un po' di trigonometria.
Questa però non è l'unica forza che agusce sul corpo. Infatti poiché siamo in un sistema di riferimento relativo e non assoluto, dobbiamo tenere conto della forza apparente che agisce sul corpo dovuta al fatto che il sistema è accelerato. Se il sistema (ovvero lo scivolo) è accelerato con accelerazione $a_s$, la forza apparente che agisce sul corpo è dunque $ma_s$ in direzione contraria rispetto al moto dello scivolo. Questa forza apparente è anch'essa scomponibile in direzione tangenziale e normale alla superficie dello scivolo, e la componente tangenziale può poi essere scomposta in componente orizzontale e verticale. Anche in questo caso quella che conta è la componente orizzontale. La somma delle due forze orizzontali trovate, quella dovuta al peso e quella apparente, è la forza che muove il corpo nel sistema relativo, da cui otteniamo anche la sua accelerazione nel sistema relativo. Passando adesso al sistema assoluto, prendendo la accelerazione relativa e sommandoci vettorialmente la accelerazione di trascinamento del sistema (che è sempre quella dello scivolo) otteniamo l'accelerazione assoluta del corpo. Per il principio di azione-reazione la forza che nel sistema assoluto spinge il corpo è uguale e contraria alla forza che spinge lo scivolo. Ponendo questa uguaglianza si ricava la accelerazione dlelo scivolo. Da qui poi si trova tutto il resto.