Trasformazione lineare tra Pressione e Volume- termodinamica

[clever]

Il testo di un problema trovato in rete dice:
Una mole di gas perfeto monoatomico compie un ciclo reversibile costituito da un'espansione adiabatica da $Ta$ a $Tb$ seguita a una cmpressione isoterma fino al raggiungimento di un volume $Vc$.
Il ciclo viene completato da una trasformazione in cui la pressione del gas è una funzione lineare del volume.
Si calcoli:

1. il lavoro compiuto e il calore scambiato nell'ultima trasformazione

dato che è una trasformazione di tipo lineare la scrivo generalizzandola come:
$P = a V + b$
il lavoro è l'integrale di
$L = \int ( a V + b) dv integrato in $(Vc, Va)$

E viene qualcosa tipo: $=(a/2)*[(Va)^2 - (Vc)^2] + b[Va - Vc ]$

ma non so come calcolarmi in questo caso il calore scambiato, c'entra sicuramente il primo principio, ma non so se in caso del genere $\delta U$ quanto vale...

2. il rendimento del ciclo

A->B adiabatica
$Q=0$
$L= n Cv (Tb - Ta)$

B->C isoterma
$L=Q= n R Tb Log ((Vc)/(Vb))$

$Vc$ è noto, quindi ho da trovarmi $Vb$ o qualche modo per metterlo nella formula

problema è che non riesco ad uscirmene *_* cioè ho scritto tutte le equazioni possibili legate allo stato B ovvero:
dall'isoterma so:
$Pb Vb = Pc Vc$

mentre per l'adiabatica è:
$Ta (Va)^(\gamma - 1) = Tb (Vb)^(\gamma -1)$

potrei ricavarmi Vb dal rapporto delle temperature note però non avrei Va ... sto tipo in un vicolo cieco, inolte l'unica soluzione che ho ricavato da dei conti è:

$Vb = (Pc Vc)/(Pb) = (n R Tb)/(Vc Pb) $

ma c'è di nuovo il problema di $Pb$!

l'ho ricavato da : $Pb = ((Va)/(Vb))^(\gamma) * Pa$
inoltre:
$(Va)/(Vb) = ((Ta)/(Tb))^(1/(\gamma -1))$

sostituendo:
$Pb = ((Ta)/(Tb))^((\gamma)/(\gamma -1))* Pa$

e Pa me lo ricavo dall'ultima trasformazione che è di tipo lineare:
$Pa = a V_a + b$ con $a$ e $b$ costanti che non conosco...

se andrebbe cosi può funzionare la cosa, altrimenti non so come muovermi...

lo so è un messaggio un pò lungo, chiedo venia ://

[walter89]

ma non so come calcolarmi in questo caso il calore scambiato, c'entra sicuramente il primo principio, ma non so se in caso del genere $\delta U$ quanto vale...

la formula è sempre la stessa e puoi usarla anche senza conoscere il tipo di trasformazione se conosci gli stati iniziale e finale

[clever]

Ah, questa cosa non so come renderla in formule, sul libro parla di funzione di stato per l'energia interna in questi termini (ovvero primo principio della termodinamica)
$U = Q - L$

Ma io non ho Q! o almeno non so come trovarlo

[Falco5x]

Considerando anche solo il primo punto mi pare che questo esercizio sia indeterminato.
A meno che quando si dice "la pressione è funzione lineare del volume" non si debba intendere che P è proporzionale a V ovvero $P=aV$, ma questa sarebbe una forzatura del testo. Oppure bisognerebe conoscere anche $V_A$ oppure $V_B$.

[clever]

Ciao Falco, ti giuro sto sbattendo la testa da qualche giorno, ma non avendo risultati numerici, non posso provar nulla.
Per me la tipica 'retta' di stato nel piano $P,V$ è una retta a tutti gli effetti, con una pendenza $b$ e una intercetta $a$ e se proprio fosse anche come dici tu, io non avendo $a$ numericamente parlando, non posso comunque calcolarmi nulla.

Supponendo che fossero noti $Va$ e $Vb$, come potrei operare per sapere il calore nell'ultima trasformazione?
So che la trasformazione è reversibile...quindi potrei trovarmela con l'entropia posta uguale a 0 cioè
$(Q_a)/T_a + (Q_b)/Tb + (Q_c)/T_c = 0$

$Ta, Tb$, sono note
$Tc=Tb$
il primo termina nello stato A è $Q=0$ perchè è adiabatico
$Qb$ è ricavato per la trasformazione isoterma, mi basta fare un passaggio e trovarmi $Qc$
viene $Q_c = - Q_b$
potrebbe andare secondo voi?

[Falco5x]

Siccome è noto $V_C$ si può trovare $P_C$ perchè $V_CP_C=RT_B$.
Analogamente se fosse noto $V_A$ si avrebbe anche $P_A$ perché $V_AP_A=RT_A$.
Dunque noti i punti estremi del segmento sarebbe facile trovare l'area sotto il segmento, che è il lavoro della trasformazione lineare.
Per trovare il calore basterebbe applicare il primo principio della termodinamica, sapendo che la variazione di energia interna è $\DeltaU=c_V(T_A-T_B)$. Il $c_V$ è $3/2R$ essendo il gas monoatomico.

[clever]

Falco scusa, ho modificato il mio ultimo post, comunque, rileggendo la traccia, $Vc$ non è noto.....

Credo di aver risolto usando la definizione di entropia per le trasformazioni reversibili, sapendo che il calore dell'adabiatica è nullo, nell'isoterma è ricavabile e ho come temperature sia $Ta$ sia $Tb$ e di conseguenza $Tc=Tb$ mi trovo facilmente $Qc$.

Credo di aver risolto, ora mi manca solo trovare $Vc$ supponendo di conoscere $Va$ e $Vb$, evidentemente nel testo l'hanno dimenticato di scrivere.

[Falco5x]

Scusa clever ma non mi è chiaro.
Se non conosci Vc mi sembra che non puoi determinare né il lavoro né il calore della trasformazione lineare.
Infatti pur conoscendo la isoterma sulla quale Vc si trova, se non si conosce il punto esatto non si può determinare il lavoro che è l'integrale PdV. Se ad esempio fosse Vc=Va il lavoro sarebbe nullo.

[clever]

E' molto ambiguo come problema, è una traccia d'esame, quindi in linea teorica dovrebbe essere scritto in modo chiare e senza errori di omissioni di dati, il quale però nel nostro caso ci sono! ://

Di Vc non mi si dice proprio nulla! E poi mi viene detto invece di Ta Tb e tra noi abbiamo presupposto l'esistenza di Va e Vb.....
Lasciamo perdere xd

Domanda in linea teorica.
In questo caso se avessi avuto tutti i dati, e avessi dovuto calcolare il rendimento avrei dovuto fare:
$\eta = L/Q$

Dove per lavoro avrei dovuto fare la somma dei lavori delle varie trasformazioni, e il calore solo quello assorbito (cioè quello positivo).

[Falco5x]

Domanda in linea teorica.
In questo caso se avessi avuto tutti i dati, e avessi dovuto calcolare il rendimento avrei dovuto fare:
$\eta = L/Q$

Dove per lavoro avrei dovuto fare la somma dei lavori delle varie trasformazioni, e il calore solo quello assorbito (cioè quello positivo).

Sì, oppure $\eta=1-Q_c/Q_a$ il che è lo stesso (Qc=calore ceduto Qa=calore assorbito)