Meccanica Analitica - Teoria delle perturbazioni

[blind01]

Data l'hamiltoniana
$H_{\epsilon}=\omega _1 I_1 + \omega_2 I_2 +\omega_3 I_3+ \epsilon I_1\cdot I_2 \[ 1-\sin\(\phi_1\) \sin\(\phi_2\) +\sin\(\phi_1+\phi_2+\phi_3\) \]$
Scrivere la forma normale non risonante. (Fin qua è ok)
$\hat{H}_{\epsilon}=\omega\cdot \hat{I}+g(\hat{I})+\epsilon ^2\hat{f}(\hat{I},\hat{\phi})$
Adesso mi viene chiesto per quali valori di $\omega$ posso costruire $g(\hat{I})$.
Allora io avrei detto che la forma non risonante ce l'ho fintanto che gli argomenti delle funzioni periodiche della perturbazione, sono variabili lente. Chiaramente tale affermazione è valida una volta posto la perturbazione come somma di funzioni periodiche (seno o coseno).
Scrivendo la moltiplicazione dei due seni come:
$\frac{1}{2}[cos(\phi_1 +\phi_2)-cos(\phi_1-\phi_2)]$
ottengo un'hamiltoniana del tipo:
$H_{\epsilon}=\omega _1 I_1 + \omega_2 I_2 +\omega_3 I_3+ \epsilon I_1\cdot I_2 \[ 1+\frac{1}{2}[cos(\phi_1 +\phi_2)-cos(\phi_1-\phi_2)] +\sin\(\phi_1+\phi_2+\phi_3\) \]$
Quell'"1" lo devo scrivere in qualche modo particolare? Da fastidio? Non credo visto che posso separare $\epsilon I_1I_2$ dalla parte in $\epsilon$ perturbativa.
Adesso però come procedo per calcolarmi le $\omega$? Mi basta un suggerimento, uno spunto per partire.

Grazie a chi risponderà.

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Dunque è possibile fare in questo modo?

$k^{(1)}=(1,1,0);$ $ k^{(2)}=(1,-1,0);$ $k^{(3)}=(1,1,1)$

ed imporre che:

$k\circ \omega\ne 0$ dove $\circ=$prodotto scalare

E quindi l'hamiltoniana uscirebbe:

$\hat{H}_{\epsilon}=\omega \circ \hat{I}+\epsilon \hat{I_1}\hat{I_2}+o(\epsilon)$

È giusto?