Pendolo ideale in ascensore

[clever]

Ciao a tutti.
Riguardavo alcuni problemi concernenti pendoli messi nei posti piu disparati: nell'ascensore.
Il testo è questo:
Un pendolo ideale è montato all'interno di una scatola nelle vicinanze della superfice terrestre.
Se la scatola è vincolata in un ascensore con $Az = - 0,2 g$ calcolare:
1. la posizione di equilibrio e il periodo delle piccole oscillazioni.
2. la velocità max se è inclinato di un angolo $theta = - 5$ misurato in senso antiorario, e con velocità relativa nulla.

1.
il periodo di oscillazione è :
$T = 2*pi * sqrt ((L/(g+Az)))$ metto il segno positivo, perchè sta decelerando e quindi mi verrà una accelerazione piu piccola.

Per la posizione d'equilibrio:
se fosse in un sistema in cui andasse con velocità costante, la posiozione di equilibrio si raggiungeva semplicemente lungo la verticale con l'angolo nullo.
Qui invece la somma delle forze non può essere nulla, quindi sarà del tipo:
$T sin theta - m*(g +az) = 0$ dove $sin theta = theta$
ma non credo vada bene ù.ù

2.
$V=V_t + V_r$
$V=V_t$
la velocità sarà max quando arriva alla verticale e dunque per $theta=0$
quindi parte da sinistra e vale per l'energia questa relazione:
$1/2 * m* V^2 + m*g*L cos theta = m g L (1 - cos theta_0)$
facendo vari passaggi si ha:
$V^2 = 2 L *g*(cos theta - cos theta_0)$

che ne dite?

[Quinzio]

Credo che l'ascensore stia accelerando verso l'alto.

[clever]

Mi sa di si, solo che dice sul testo: 'ascensore che sta accelerando verso il basso con accelerazione Az", poi ho visto numericamente quanto vale cioè $-0,2 g$ e ho pensato che fosse un tranello.
Per me, scende frenando.

[anonymous_ed8f11]

Ciao, io ho trovato due posizioni di equilibrio, una stabile ed una instabile che corrispondono alle due posizioni con il pendolo in verticale (solo quella verso il basso è stabile,essendo $|A|<1$) .
Le oscillazioni mi vengono esattamente come le tue, ed il resto non ho provato a farlo perchè si sta facendo un po'troppo tardi, domani mattina se ho tempo vado avanti

[clever]

Non ho ben capito come ti vengono due posizioni di equilibrio, quando hai tempo puoi descrivermele anche teoricamente, cosi mi ci metto e vedo di scriverle io le equzioni? Grazie.

[anonymous_ed8f11]

Aspetta un attimo però: Con pendolo ideale intendi un punto materiale tenuto da un'asta senza massa, oppure da un filo senza massa?
Perchè nel caso del filo allora hai ragione e c'è una sola configurazione di equilibrio

[cyd]

è un problema di moti relativi, la scatola è un sistema di riferimento non inerziale che trasla rispetto a quello inerziale,
preso un sistema di riferimento inerziale (O,x1,x2,x3) , uno solidale con la scatola (o',y1,y2,y3) in modo che x1 sia diretta come y1 lungo la verticale allora
l'accelerazione di un generico punto del pendolo sarà quindi composta da:
$a_P^a = a_P^r + a_O'$ dove $a_P^a$ è l'accelerazione di P rispetto il sistema inerziale, $a_P^r$ quella di P rispetto la scatola e $A_O'$ quella di O' rispetto il sistema inerziale.

quindi l'equazione del moto relativa (lungo la verticale) è $m a_P^r = m a_P^a -m A_z = -m(g+A_z)$

dunque il pendolo è soggetto alla risultante $vec R = -m(g+A_z) vec(j)_1$
le equazioni del moto del pendolo sono:
$m l ddot(theta) = R_t$ (non ci sono reazioni vincolari tangenti)
$m dot(theta)^2/l = R_n + phi_n$
$0 = phi_b$

cioè
$ddot(theta) = - (g+A_z)/l sin(theta)$
$phi_n = m ddot(theta)^2/l + m(g+A_z) cos(theta)$
$phi_b=0$
le posizioni di equilibrio sono $theta = 0, pi $
piccole oscillazioni =>Z $sin theta ~= theta$ quindi $ddot(theta) = - (g+A_z)/l theta$ è un moto armonico con pulsazione $omega=sqrt((g+A_z)/l)$ e quindi periodo $T=2pi/omega = 2 pi sqrt(l/(g+A_z))$

per il secondo punto v bene la conservazione dell'energia, $ m (g+A_z) l(1-cos theta_0) = 1/2 m dot(s)^2$ => $dot(s) = sqrt(2 (g+A_z) l (1-cos theta_0))$

[clever]

Sto leggendo la tua risposta cyd, e prima che me ne dimentichi, ti scrivo i miei dubbi:

1. Sul periodo del pendolo. Io conosco 3 casi, uno quando l'ascensore è in caduta libera $g=Az$, uno quando l'ascensore ha velocità costante, e quindi si prende per buona la formula generale del periodo di un pendolo, e i due casi particolari: ascensore scende accelerando, ascendore che scende frenando.
Ora per me quel $Az = - 0,2 g$ mi dice che è una decelerazione, giusto? Quindi il meno già ce l'ha, se ci mettessi un altro meno davanti diventerebbe una acc maggiore di quella di gravità, non trovi? E non credo dovessere essere cosi...illuminami su questa perplessità, che mi sembra tanto stupida quanto complicata *_*

2. Capisco poco la notazione polare <.< potresti spiegarmi cos è per te $phi_b$ e $phi_n$?

3. Quando ci si trova a risolvere un problema del genere, in cui ci siano di mezzo moti relativi, l'energia potensiale come l'hai scritta tu, non fa uso più del classico
$m g z$ ma di un $m g' z$ dove per g' intendo l'accelerazione creatasi, dipendente dal moto relativo.

P.S
@anonymous_ed8f11:per pendolo ideale, l'esercizio intende un punto materiale tenuto da un filo senza massa\massa trascurabile.?

[cyd]

3. in realtà non ne sono convinto... voglio dire, il potenziale è definito per un sistema di forze agenti, se consideri il moto rispetto all'osservatore inerziale allora la forza agente è il peso quindi $U=-mgz$ mentre se consideri il moto relativo la forza risultante è $R=F-F_tau$ dove F_tau è la forza apparente dovuta all'accelerazione di trascinamento (vale in questo caso altrimenti ci sarebbero altre forze fittizie) quindi per il sistema relativo il potenziale è $U=U_(peso) - U_(tau) = -mgz - mA_z z = -m(A_z + g) z$ cioè $V=m(g+A_z)z$ infatti $dV = mg dz + mA_z dz = -R dz$
ma potrei benissimo sbagliarmi

2. $phi_b$ è la componente lungo la binormale della reazione vincolare del filo (per completezza) , $phi_b$ è la componente normale

1. guarda non lo so, io ho usato le formule di composizione:
se $vec(x)=sum x_i vec(i)_i$ è la posizione rispetto l'inerziale, $vec(c) = sum c_i vec(i)_i$ è quella dell'origine del mobile rispetto al fisso e $vec(y)=sum y_i vec(j)_i$ rispetto la scatola allora $vec x = vec(c) + vec(y)$ con i versori di $vec y$ espressi in funzione dei versori fissi. derivando $v_a = d/(dt) (sum c_i vec(i)_i) + d/(dt) (sum y_i vec(j)_i)$ poichè la terna mobile è invariante rispetto la fissa (non ruota) allora
$v_a = v_r = sum dot(c)_i vec(i)_i + sum dot(y)_i vec(j)_i = V_c + V_r$
derivo e sempre per gli stessi motivi
$a_a = a_c + a_r$ dove a_c è l'accelerazione di trascinamento = a quella di traslazione del sistema mobile.
l'accelerazione relativa è quindi $a_r = a_a - a_c = -g - A_z$ quindi si, avevo sbagliato

[cyd]

corretto