dubbio sul potenziale vettore

[cyd]

ciao,
ho un dubbio sul potenziale vettore di un campo...

se un campo vettoriale $vec V$ è solenoidale allora per definizione $nabla * vec V = 0$
quindi poichè in generale, per un campo vettoriale $vec U$ qualsiasi si ha $nabla * (nabla ^^ vec U) = 0$ allora $vec V$ può essere sempre pensato come il rotore di un altro campo vettoriale, il potenziale vettore, cioè $vec V = nabla ^^ vec A$ infatti questo soddisfa sempre la divergenza nulla.
quindi se $nabla ^^ vec V = vec J$ (rotore di V) si ha $nabla ^^ ( nabla ^^ vec A) = vec J$ quindi per l'identità $nabla ^^ nabla ^^ vec u = grad nabla * vec v - Delta vec v$ dove $Delta$ è l'operatore di laplace definito come $Delta u = nabla* grad u$ si ha $nabla ( nabla* vec A) - Delta vec A = vec J$

il dubbio è il seguente:
poichè il rotore del gradiente è sempre nullo allora A è definito a meno del gradiente di una funzione arbitraria e sul mio libro c'è scritto che è sempre possibile scegliere A in modo che $nabla ( nabla* vec A) = vec 0 $ e che quindi la relazione A-J si riduca a $Delta vec A = - vec J$ e fin qui ok.
ma l'operatore laplaciano non produce uno scalare? cioè se è la divergenza di un gradiente dovrebbe essere scalare...

mentre scrivevo mi è venuto in mente che il gradiente di una funzione vettoriale $f: R^3 -> R^3$ è $grad f = ( (del f)/(del x) , (del f)/(del y),(del f)/(del z))$ cioè una matrice 3x3
quindi la divergenza di tale vettore non è uno scalare, ma un vettore di R^3 ? (anche se persino nel mio libro di analisi è definita solo come una funzione scalare)
cioè $nabla * (grad vec f) = nabla * ( (del f)/(del x) , (del f)/(del y),(del f)/(del z) ) = del/(del x) ((del f)/(del x) ) + del/(del y) ((del f)/(del y) ) + del/(del z) ((del f)/(del z) ) = ( (del^2 f_1)/(del x^2) + (del^2 f_1)/(del y^2) + (del^2 f_1)/(del z^2) , (del^2 f_2)/(del x^2) + (del^2 f_2)/(del y^2) + (del^2 f_2)/(del z^2) , (del^2 f_3)/(del x^2) + (del^2 f_3)/(del y^2) + (del^2 f_3)/(del z^2) )$

so che matematicamente fa un po schifo però è l'unica idea che mi è venuta...

[speculor]

Infatti la devi intendere componente per componente.

[cyd]

si, in effetti... grazie!