Spostamento virtuale

[Andrea90]

Riporto in sintesi quanto scritto nel testo per fissare il punto della situazione:

"La coppia di vettori \( \displaystyle \frac{\partial P}{\partial q_h},\; h=1,2 \) è, in ogni punto \( \displaystyle P\in \mathcal{Q} \) , una base per il piano tangente alla superficie \( \displaystyle \mathcal{Q} \) in \( \displaystyle P \) . Dunque ogni vettore tangente si può rappresentare come combinazione lineare di tali due vettori. Per i vettori tangenti ci atterremo alla notazione tradizionale \( \displaystyle \delta P \) , denotando corrispondentemente le componenti con \( \displaystyle \delta_{q_h},\; h=1,2 \) , ovvero scriveremo: \( \displaystyle \displaystyle \delta P=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P}{\partial q_h}\delta_{q_h} \) con \( \displaystyle n=2 \) e i coefficienti \( \displaystyle \delta_{q_h} \) arbitrari."

Il problema è giustificare che i \( \displaystyle \delta_{q_h} \) sono arbitrari. Questa considerazione viene fatta anche in altri punti del testo...
L'unica spiegazione che mi viene è che si considera un qualsiasi vettore sul piano tangente (ed in generale sulla varietà tangente ad una certa varietà \( \displaystyle n- \) dimensionale) e non un vettore fissato. Infatti se tale vettore fosse fissato le componenti rispetto alla base sarebbero esse stesse fissate.

Spero di essere stato più chiaro!

[speculor]

Il problema è che il problema non esiste. Difficile essere più chiari.

[Andrea90]

Ok, allora ammettiamo che stiamo considerando un qualsiasi vettore tangente alla varietà, giusto?

[cyd]

Riporto in sintesi quanto scritto nel testo per fissare il punto della situazione:

"La coppia di vettori \( \displaystyle \frac{\partial P}{\partial q_h},\; h=1,2 \) è, in ogni punto \( \displaystyle P\in \mathcal{Q} \) , una base per il piano tangente alla superficie \( \displaystyle \mathcal{Q} \) in \( \displaystyle P \) . Dunque ogni vettore tangente si può rappresentare come combinazione lineare di tali due vettori. Per i vettori tangenti ci atterremo alla notazione tradizionale \( \displaystyle \delta P \) , denotando corrispondentemente le componenti con \( \displaystyle \delta_{q_h},\; h=1,2 \) , ovvero scriveremo: \( \displaystyle \displaystyle \delta P=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P}{\partial q_h}\delta_{q_h} \) con \( \displaystyle n=2 \) e i coefficienti \( \displaystyle \delta_{q_h} \) arbitrari."

Il problema è giustificare che i \( \displaystyle \delta_{q_h} \) sono arbitrari. Questa considerazione viene fatta anche in altri punti del testo...
L'unica spiegazione che mi viene è che si considera un qualsiasi vettore sul piano tangente (ed in generale sulla varietà tangente ad una certa varietà \( \displaystyle n- \) dimensionale) e non un vettore fissato. Infatti se tale vettore fosse fissato le componenti rispetto alla base sarebbero esse stesse fissate.

Spero di essere stato più chiaro!

$delta P$ non è lo spazio tangente. una volta che si ha lo spazio tangente $delta P$ è una combinazione lineare della base di tale spazio secondo coefficienti arbitrari, appunti i $delta q_i$ (che definiscono lo spostamento elementare). quindi data una sottovarietà $phi(...)=0$ una base dello spazio tangente è $(del P)/(del q_i) i=1,2,...,n$ e lo spostamento virtuale ne è una combinazione lineare secondo una n-pla di coefficienti $(dq_1,dq_2,...,dq_n)$ arbitrari

[Andrea90]

Riporto in sintesi quanto scritto nel testo per fissare il punto della situazione:

"La coppia di vettori \( \displaystyle \frac{\partial P}{\partial q_h},\; h=1,2 \) è, in ogni punto \( \displaystyle P\in \mathcal{Q} \) , una base per il piano tangente alla superficie \( \displaystyle \mathcal{Q} \) in \( \displaystyle P \) . Dunque ogni vettore tangente si può rappresentare come combinazione lineare di tali due vettori. Per i vettori tangenti ci atterremo alla notazione tradizionale \( \displaystyle \delta P \) , denotando corrispondentemente le componenti con \( \displaystyle \delta_{q_h},\; h=1,2 \) , ovvero scriveremo: \( \displaystyle \displaystyle \delta P=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P}{\partial q_h}\delta_{q_h} \) con \( \displaystyle n=2 \) e i coefficienti \( \displaystyle \delta_{q_h} \) arbitrari."

Il problema è giustificare che i \( \displaystyle \delta_{q_h} \) sono arbitrari. Questa considerazione viene fatta anche in altri punti del testo...
L'unica spiegazione che mi viene è che si considera un qualsiasi vettore sul piano tangente (ed in generale sulla varietà tangente ad una certa varietà \( \displaystyle n- \) dimensionale) e non un vettore fissato. Infatti se tale vettore fosse fissato le componenti rispetto alla base sarebbero esse stesse fissate.

Spero di essere stato più chiaro!

$delta P$ non è lo spazio tangente. una volta che si ha lo spazio tangente $delta P$ è una combinazione lineare della base di tale spazio secondo coefficienti arbitrari, appunti i $delta q_i$ (che definiscono lo spostamento elementare). quindi data una sottovarietà $phi(...)=0$ una base dello spazio tangente è $(del P)/(del q_i) i=1,2,...,n$ e lo spostamento virtuale ne è una combinazione lineare secondo una n-pla di coefficienti $(dq_1,dq_2,...,dq_n)$ arbitrari

Allora l'arbitrarietà di queste componenti è proprio imposta nella definizione di spostamento virtuale, giusto?