Spostamento virtuale

[Andrea90]

Buonasera a tutti!
Per un sistema di \( \displaystyle N \) punti materiali, è stato definito lo spostamento virtuale del punto \( \displaystyle i- \) esimo come segue: \( \displaystyle \displaystyle \delta P_i=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P_i}{\partial q_h}\delta_{q_{h}} \) , dove \( \displaystyle n \) è il numero di gradi di libertà del sistema. Non capisco perché ovunque si dice che i \( \displaystyle \delta_{q_{h}} \) sono numeri arbitrari. Purtroppo tale risultato si utilizza in molte applicazioni di meccanica lagrangiana e non mi è chiaro.
Qualcuno di voi potrebbe chiarirmi il dubbio?
Vi ringrazio in anticipo!

[cyd]

se puoi descrivere la posizione di un sistema di punti $(P_i, m_i) i=1,2,..N$ tramite $n$ coordinate lagrangiane allora in generale
la posizione di ogni punto è una funzione delle n coordinate lagrangiane $P_i = P_i ( q_1,q_2,...q_n)$ quindi la velocità virtuale è $vec(v)_s' = (d P_s)/(dt) = sum_i (del P_s)/(del q_i) * dot(q)_i$ infatti se $f=f(s)$ con $s=s(t)$ allora $(d f)/(dt) = (d f)/(d s) * (ds)/(dt)$

quindi $ delta P_s = sum_i (delta P_s)/(delta q_i) dot(q)_i dt = sum_i (delta P_s)/(delta q_i) delta q_i$

[Andrea90]

Il legame con le velocità virtuali mi è chiaro. Il problema è che nelle mie assunzioni \( \displaystyle \delta_{q_h} \) sono le componenti di un vettore tangente (quale è lo spostamento virtuale) alla varietà vincolare rispetto alla base \( \displaystyle \frac{\partial P}{\partial q_h},\; h=1,2,3 \) . Tuttavia così dicendo, i \( \displaystyle \delta_{q_h} \) mi sembrano tutt'altro che arbitrari proprio per la definizione di base di uno spazio vettoriale. Cosa mi sfugge?

[speculor]

Se il punto materiale è vincolato a restare sulla varietà, una superficie per esempio, hai due gradi di libertà effettivi. Delle due l'una:
1. Scrivi lo spostamento virtuale senza tener conto del vincolo, tre gradi di libertà, ma allora non sono indipendenti.
2. Scrivi lo spostamento virtuale tenendo conto del vincolo, due gradi di libertà, ma allora sono indipendenti.
Il formalismo che hai utilizzato all'inizio parla dei gradi di libertà effettivi, due e non tre, quindi sono indipendenti.

[Andrea90]

Quindi l'arbitrarietà dei numeri \( \displaystyle \delta_{q_h} \) deriva dal fatto che i due gradi di libertà sono indipendenti? Non mi è molto chiaro il ragionamento anche perché non ho mai sentito parlare di gradi di libertà indipendenti...
Forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua!

[speculor]

Per definizione, i gradi di libertà sono sempre indipendenti. Ho utilizzato quella locuzione per esprimere meglio le mie considerazioni. Se ho un punto vincolato alla superficie di equazione $f(x,y,z)=0$, posso prima scrivere lo spostamento virtuale generico $(dx,dy,dz)$ senza tener conto del vincolo, quindi, nel rispetto del vincolo, imporre la condizione $(delf)/(delx)dx+(delf)/(dely)dy+(delf)/(delz)dz=0$, che mi rende una componente funzione delle altre due. Ripeto, il tuo formalismo prevede che tu abbia già utilizzato questa condizione, quindi hai solo le componenti indipendenti.

[Andrea90]

Ok. Allora come interpreto l'attributo "arbitrari" in riferimento a \( \displaystyle \delta_{q_h} \) ?

[speculor]

Ma infatti sono arbitrari. Nel mio esempio:

$dz=-((delf)/(delx)dx+(delf)/(dely)dy)/((delf)/(delz))$

$dx$ e $dy$ sono arbitrari, ti muovi, a livello infinitesimo, sul piano tangente.

[Andrea90]

Allora nell'esempio da te proposto, \( \displaystyle dx \) e \( \displaystyle dy \) sono arbitrari perché infinitesimi? L'unica cosa che non mi torna è che questi \( \displaystyle \delta_{q_h},\; h=1,2 \) sono le componenti del vettore spostamento virtuale \( \displaystyle \delta P \) e questo, quindi, è univocamente determinato da esse. Perché mai tali componenti sono arbitrarie? Se lo fossero otterrei un vettore tangente diverso di volta in volta che fisso le componenti... o no?

[speculor]

Matematicamente deve essere così. Fisicamente, una volta fissate le condizioni iniziali, viene selezionata una particolare direzione appartenente al piano tangente.