Grandezze conservative

[Summerwind78]

Ciao a tutti

Ho per le mani questo esercizio:

Due particelle entrambi di massa $m$ sono in uno spazio tridimensionale, e si trovano in un campo di forze esterno.

Mi vengono dati il potenziale della prima particella e il potenziale di interazione tra la prima e la seconda.

L'esercizio chiede di determinare se si conservi l'energia, l'impulso o il momento della quantità di moto.

e in quali direzioni.

Qualcuno potrebbe darmi un'idea teorica su come affrontare questo esercizio.

Io ho pensato che avendo il potenziale della prima particella posso ricavarne il campo di forze, ma una volta fatto questo come faccio a ricavarmi l'eventuale energia cinetica per determinare la Lagrangiana?

E soprattutto non so come gestire il fatto di avere il potenziale di interazione tra le due particelle, come lo devo considerare?


è un pochino urgente... (per domani) quindi se qualcuno potesse darmi una mano "rapida" lo apprezzerei molto


grazie a tutti

[speculor]

Non ho capito, il campo esterno agisce solo sulla prima particella? In ogni modo, potresti riportare il potenziale?

[Summerwind78]

Ciao Speculor!!!

il campo agisce su entrambe le particelle.

ti riporto uno dei casi da analizzare

$\phi_{1}(vec(r), t) = \frac{1}{2}D cos (\omega t) vec(r)^{2}$ e $\phi_{2} ( vec(r_{1}), vec(r_{2}), t) = 0$

dove $\phi_{1}$ è il potenziale della prima particella, e $\phi_{2}$ è il potenziale di interazione tra le due particelle


in totale ho cinque casi in cui i potenziali cambiano di valore, ma mi serve solo capire il ragionamento

però in tutti e cinque i casi uno dei due potenziali è nullo (non sempre lo stesso ovviamente)

[speculor]

Perdonami, ma continuo a non capire. Per quale motivo $\phi_2$ è uguagliato a $0$?

[Summerwind78]

dato dell'esercizio

in altri casi è il primo potenziale a essere 0 e il secondo non lo è.


Non saprei dirti... sinceramente questo esercizio mi mette in bel po' in difficoltà.

Qualche idea?

[speculor]

Provo a riassumere. Hai un potenziale dovuto ad una forza esterna, quando esso agisce, agisce su entrambe. Se non lo voglio considerare, lo considero nullo. Hai un potenziale dovuto ad una forza interna, quando le particelle non interagiscono tra loro lo considero nullo. Confermi? Sei sicuro che anche quest'ultimo possa dipendere dal tempo?

[Summerwind78]

aspetta che che ti do il testo integrale dell'esercizio... magari capisci qualcosa in più di quanto capisca io:

considerare due particelle puntiformi di massa $m$ in uno spazio tridimensionale, entrambe le particelle si trovano in un campo di forze esterne descritto dal potenziale $\varphi_1 (vec(r),t)$ con $vec(r) = (x,y,z)$. Inoltre le due particelle esercitano l'una sull'altra una forza il cui potenziale di interazione è $\varphi_2 (vec(r_{1}),vec(r_{2}),t)$ con $r_{i} = (x_{i}, y_{i}, z_{i} ) $.

Determinare per i seguenti casi se l'energia, l'impulso o il momento della quantità di moto si conservano.
Indicate inoltre in quale direzione o su quali assi di rotazione l'impulso e il momento della quantità di moto agiscono


a) $\varphi_1 (vec(r),t) = mgz$, $\varphi_2 (vec(r_{1}),vec(r_{2}),t) = 0 $

b) $\varphi_1 (vec(r),t) = \frac{1}{2} D cos (\omega t) vec(r)^{2}$, $\varphi_2 (vec(r_{1}),vec(r_{2}),t) = 0 $

c) $\varphi_1 (vec(r),t) =0$, $ \varphi_2 (vec(r_{1}),vec(r_{2}),t) = \frac{1}{2} D e^{-\omega t} (vec(r_{1}) - vec(r_{2}) )^{2}$

d) $\varphi_1 (vec(r),t) =0$, $ \varphi_2 (vec(r_{1}),vec(r_{2}),t) = \frac{1}{2} D (vec(r_{1}) + vec(r_{2}) )^{2}$

e) $\varphi_1 (vec(r),t) =0$, $ \varphi_2 (vec(r_{1}),vec(r_{2}),t) = \frac{1}{2} D (x_{1} - x_{2})^{2} + 2 (y_{1} - y_{2})^{2}$

con le costanti $g, D, \omega > 0$


tutto qui.

[speculor]

Hai scritto

$ \varphi_2 (vec(r_{1}),vec(r_{2}),t) = \frac{1}{2} D (vec(r_{1}) + vec(r_{2}) )^{2}$

ma forse intendevi

$ \varphi_2 (vec(r_{1}),vec(r_{2}),t) = \frac{1}{2} D (vec(r_{1}) - vec(r_{2}) )^{2}$

[Summerwind78]

no è giusto come ho scritto io, sono due casi diversi

[speculor]

Ma è completamente assurdo, avresti un potenziale di interazione che non soddisfa nemmeno il 3° principio della dinamica!