Il moto circolare uniforme

[Falco5x]

Falco,

ti faccio osservare solo un 'ultima cosa : nel penultimo post mi dici :

Ti faccio un esempio molto semplice.
Prendiamo un sistema cartesiano tridimensionale inerziale e prendiamo in esso un corpo rigido con centro di massa fermo e situato sull'origine degli assi.
Se ti dico: "il corpo rigido ruota con velocità angolare costante di 2 rad/s", ti basta come informazione su come si muove il corpo? se la risposta è SI, allora la velocità angolare è uno scalare, se la risposta è NO allora non è uno scalare.
Direi che la risposta è scontata.

Ecco , posso invertirlo subito, il tuo esempio : " nel tuo stesso sistema , è dato un corpo rigido che ruota attorno a un asse , passante per l'origine , di cui sono dati i tre coseni direttori . Trovare la velocità del corpo rigido " .

Bè, potrei fare una trasformazione lineare di coordinate , passando ad un altro riferimento , più semplice , in cui il piano perpendicolare all'asse dato sia il piano $xy$ , visto che ho i tre coseni direttori ....
E poi mi fermo , perchè non ho il modulo della velocità angolare da mettere sull'asse come vettore .

Sì, deve essere proprio difficile capirsi anche tra chi le cose le sa già.
Se fosse come dici tu allora il vettore velocità non servirebbe. Ma io non ho affatto detto "di cui conosciamo i tre coseni direttori". Proprio qui sta il punto. Io ho dato il modulo della velocità e basta proprio per dimostrare che non è sufficente un solo scalare per individuare il moto del corpo. Se si conoscessero i 3 coseni e il modulo della velocità si saprebbe tutto, ma in questo caso le informazioni sarebbero 4. Mentre con le 3 componenti di omega (vettore) si sa tutto ugualmente. Dunque perché incaponirsi a impoverire il concetto di omega rendendolo uno scalare, per poi complicarsi la vita dovendo dichiarare a parte i 3 coseni direttori ???
Insomma io non vogli darti né torto né ragione, vorrei solo che ci capissimo.
Ciao.

[smaug]

$vec a (t) =vec omega times (vec omega times vec r)$

Allora il prodotto vettoriale tra $vec A xx vec B$ è il $vec C$ diretto normalmente al piano definito dai primi due con il verso calcolabile con la regola della mano destra, no?

Nel nostro caso però abbiamo due prodotti vettoriali...facendo prima $vec omega times vec r$ il cui modulo è $omega\ r\ sin \theta = omega\ r$ siccome tra loro sono perpendicolari, conoscendo la loro direzione e il loro verso, possiamo dire che la direzione del vettore risultante è normale al piano da loro individuato...no? e per trovare il verso risultante dal loro prodotto, con la mano destra possiamo dire che affinchè $vec omega$ posso ricoprire $vec r$ il mio pollice è diretto verso il basso...ma non riesco a immaginare la scena e poi il vettore che viene fuori deve essere moltiplicato ancora per $ vec omega$....potrà sembrare una banalità ma hai presente quando una cosa sembra che l'hai capita ma si hanno ancora dei dubbi? è il mio caso...quello che ho scritto è giusto? però non riesco a concretizzare

Grazie mille

[Faussone]

....potrà sembrare una banalità ma hai presente quando una cosa sembra che l'hai capita ma si hanno ancora dei dubbi? è il mio caso...quello che ho scritto è giusto? però non riesco a concretizzare

Grazie mille

Sinceramente non capisco dove sia il problema: fai un prodotto vettoriale alla volta come dicevo prima, e applica la regola della mano destra per il verso, tutto lì.
I vettori che vai a moltiplicare sono sempre perpendicolari tra loro quindi è tutto molto semplice.

[smaug]

il mio problema è capire ad esempio che direzione ha il vettore $vec omega xx vec R$ teoricamente normale al piano individuato da quei due...io sul foglio non so come disegnarlo...io il piano individuato l'ho disegnato come un parallelogramma di base $R$ e altezza $omega$ e un vettore a loro normale non riesco a individuarlo...avrò qualche lacuna teorica non so...

[gio73]

il mio problema è capire ad esempio che direzione ha il vettore $vec omega xx vec R$ teoricamente normale al piano individuato da quei due...io sul foglio non so come disegnarlo...io il piano individuato l'ho disegnato come un parallelogramma di base $R$ e altezza $omega$ e un vettore a loro normale non riesco a individuarlo...avrò qualche lacuna teorica non so...

Come un parallelogramma? Un piano è un piano, non un parallelogramma...
... e se poi hai trovato base e altezza semmai vedi un rettangolo non un parallelogramma...
Se ha i individuato il piano che contiene R e omega, ti accorgerai che v, perpendicolare al quel piano, è la velocità tangenziale, o sbaglio?

[smaug]

si esatto un piano scusami ...e un vettore ad esso normale in effetti è la velocità tangenziale...quindi ora dovrei fare per trovare $vec a(t) = vec omega xx vec v(t)$ che sono sempre tra loro perpendicolari, ed ora come trovo il piano che formano? forse da vedere è più difficile perchè nell'origine non sono incidenti...

[Faussone]

si esatto un piano scusami ...e un vettore ad esso normale in effetti è la velocità tangenziale...quindi ora dovrei fare per trovare $vec a(t) = vec omega xx vec v(t)$ che sono sempre tra loro perpendicolari, ed ora come trovo il piano che formano? forse da vedere è più difficile perchè nell'origine non sono incidenti...

I vettori puoi spostarli parallelamente e applicarli nell'origine se ti fa comodo.
mi pare ovvio che il vettore finale sia diretto come il raggio vettore, ma in verso opposto!
Mi spiace, ma non ho tempo adesso per fare un disegno, dai prova a pensarci da te, ti assicuro che non è niente di così difficile.

[navigatore]

Sì, deve essere proprio difficile capirsi anche tra chi le cose le sa già.

Infatti , è questo il punto ,anzi è un pò diverso, secondo me : scrivere un post in maniera adeguata a farsi capire , senza semplificare troppo , ma rispettando il rigore scientifico....Lo sto trovando difficilissimo !

Io ho dato il modulo della velocità e basta proprio per dimostrare che non è sufficente un solo scalare per individuare il moto del corpo.

Vedi che non ci siamo capiti ? Lo so bene , Falco, che il modulo, da solo, non basta ! E che ci vuole pure una direzione e un verso ! Ma avevo semplicemente detto , nella notte dei tempi di questo estenuante dibattito , due cose :
1) ritengo innanzittutto importante definire il valore , insomma il modulo, della velocità . Ma "innanzitutto" non vuol dire "solo" , santapolenta! Se ti riguardi l'esempio della velocità della Terra , vedrai che ho considerato la velocità angolare nella sua completa veste vettoriale , prima di scomporlo ! Arisantapolenta!
2) nel moto generale di un corpo rigido libero , la velocità angolare vettoriale non determina l'asse di rotazione . La velocità angolare vettoriale , se si sposta l'origine delle coordinate mobili, non muta : si può perciò parlare di "velocità angolare" di rotazione di un corpo rigido , in senso assoluto . Questo mi sembrava il punto meno compreso. Per cui ho portato alcuni esempi ( semplici , è chiaro ! ) , e ho riportato le due pagine del Landau .

Ecco , è tutto qua .

Davide , dà un'occhiata a questo disegno , forse può aiutarti . I vettori delle terne sono perpendicolari tra loro .

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[smaug]

credo di aver capito, posso dire che vale una cosa del genere?



dove affinchè $omega$ ricopra $vec v$ con la mia mano destra il pollice è diretto verso il centro della circonferenza...e sarebbe giusto..no?

cioè per fini pratici il vettore velocità lo posso spostare in quel modo?

[navigatore]

Davide,

per capire questa benedetta regola del prodotto vettoriale puoi fare così , in alternativa alle tre famigerate dita (pollice,indice, medio) della famigeratissima mano destra :

- devi stabilire il verso del vettore che risulta dal prodotto vettoriale $\vec\omega \times \vecv $ . Ti metti in piedi , con le braccia tese orizzontali davanti a te , formanti un certo angolo ( che nel caso in esame è proprio $90°$ ).
Battezzi $\vecomega$ il tuo braccio destro , che è il primo del prodotto vettoriale . Battezzi $\vecv$ il tuo braccio sinistro , che è il secondo del prodotto vettoriale .
Ruota ora il braccio destro fino a sovrapporlo al tuo braccio sinistro : la tua testa è sopra le tue braccia , no ? E i tuoi occhi giudicano " antioraria" questa rotazione, come antioraria deve essere la rotazione del primo vettore per sovrapporsi al secondo nel prodotto vettoriale .
Allora , una freccia che ti attraversa , diretta dai tuoi piedi verso la tua testa, è la direzione orientata del vettore prodotto $\vec\omega \times \vecv $ . E' più chiaro , ora ?

Con riferimento al tuo disegnino , ai fini pratici sposta $\vecomega$ sul punto P in moto , all'origine di $\vecv$ , anzichè spostare $\vecv$ al centro ! Il verso del vettore prodotto , lo stabilisci "abbattendo" $\vecomega$ su $\vecv$ : questa rotazione è vista "antioraria" se il vettore prodotto è orientato da P verso il centro $O$ !

Insomma , in ogni caso di prodotto vettoriale è il primo vettore che deve ruotare , in senso antiorario , per sovrapporsi al secondo . E questo vale , qualunque sia l'orientazione della terna nello spazio : le famose tre dita ( maledetteeee! chi la ha messe di mezzo? Io la mano destra non ce l'ho , me la sono venduta quando non capivo il prodotto vettoriale) , dicevo , le tre dita famose possono essere girate insieme con la mano in qualunque mod onello spazio , ma la reciproca orientazione rimane sempre la stessa . L'importante è non confondere la mano destra con la mano sinistra , che è ad essa speculare !