Dracmaleontes ha scritto:Come avevo scritto nel primo post, credo che le disuguaglianze siano queste:
$$E = \{( \rho, \theta ,z) \in \mathbb{R}^3 : \rho^2 + z^2 \leq 1,\hspace{1mm}\sqrt{2}\rho^2 \leq z \leq \sqrt{6}\rho^2, \hspace{1mm}0 \leq \theta \leq 2\pi, \hspace{1mm} \rho \geq 0 \}$$
Però da qui non riesco a ricavare risultati diversi da quelli già citati
E vabbè, questo ce lo siamo detti, il problema non è a questo livello.
Da quanto hai scritto si deduce che, in coordinate cilindriche, il dominio $E$ è il prodotto cartesiano dell'intervallo $[0,2pi]$, in cui varia $theta$, e del dominio $D$, in cui variano $rho$ e $z$, individuato dalle disuguaglianze $ \rho^2 + z^2 \leq 1,\ \sqrt{2}\rho^2 \leq z \leq \sqrt{6}\rho^2,\ rho >=0$.
Quello che dobbiamo fare è descrivere $D$ attraverso disuguaglianze più adatte ad impostare il calcolo dell'integrale.
Il dominio $D$ è quello contenuto nel semipiano delle $rho$ non negative delimitato dalle parabole di equazioni $z= sqrt(2) rho^2$ e $z=sqrt(6)rho^2$ e dalla circonferenza unitaria di equazione $rho^2 + z^2 =1$.
Facendo un disegno (vedi sopra) ci siamo accorti che $D$ ha tre "vertici" nei punti $O=(0,0)$ (intersezione delle due parabole), $A=(1/sqrt(2), 1/sqrt(2))$ (intersezione della parabola inferiore con la circonferenza) e $B=(1/sqrt(3), sqrt(2/3))$ (intersezione della parabola superiore con la circonferenza) e che $D$ è normale rispetto ad entrambi gli assi.
Se scegliamo di rappresentarlo come normale all'asse $rho$, osservando il disegno ci accorgiamo che $D$ deve essere pensato come unione di due sottodomini $D_1$ e $D_2$, il primo costituito dai punti aventi $0<= rho <= 1/sqrt(3)$ e $sqrt(2) rho^2 <= z <= sqrt(6) rho^2$ ed il secondo dai punti con $1/sqrt(3) <= rho <= 1/sqrt(2)$ e $sqrt(2) rho^2 <= z <= sqrt(1-rho^2)$, che non hanno punti interni in comune.
Quindi per proprietà additiva e formule di riduzione hai:
$int_E rho\ "d" rho "d" theta "d" z = int_0^(2pi) "d" theta * int_D rho\ "d" rho "d" z= int_0^(2pi) "d" theta * (int_(D_1) rho\ "d" rho "d" z + int_(D_2) rho\ "d" rho "d" z) = 2pi * (int_0^(1/sqrt(3)) "d" rho int_(sqrt(2) rho^2)^(sqrt(6) rho^2) rho\ "d" z + int_(1/sqrt(3))^(1/sqrt(2)) "d" rho int_(sqrt(2) rho^2)^(sqrt(1- rho^2)) rho\ "d" z)$,
da cui dovresti trarre il risultato.
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Perché con il tuo metodo non trovavi il risultato giusto?
Beh, perché l'insieme di integrazione rispetto a $rho$ e $z$ che individuano le tue disuguaglianze non è $D$, ma proprio un altro!
Infatti, tu integravi su $D^\prime =\{ 1/sqrt(3) <= rho <= 1/sqrt(2),\ sqrt(2) rho^2 <= z <= sqrt(6) rho^2\}$ che è il dominio delimitato dalle due parabole di cui sopra e dalle rette verticali di equazioni $rho =1/sqrt(3)$ e $rho=1/sqrt(2)$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)