Penso che il baricentro di un insieme convesso debba appartenere all'insieme, ma come si dimostra?
Preso un insieme convesso $A\subseteqRR^n$, questo dovrebbe essere misurabile perchè $A\setminus\text{int}(A)\subseteq\partialA$ e immagino che $\partialA$ abbia misura nulla anche se non saprei esattamente perchè.
Forse ci si può basare sul fatto che credo sia vero che $\partialA$ si possa scrivere come unione di un numero finito di grafici di funzioni convesse (eventualmente ruotati) di cui $2n$ dovrebbero bastare, a quel punto la sua misura sarebbe $0$.
Poi però non so come dimostrare ciò che mi interessa.
Ah poi mi è appena venuto in mente che, per avere senso parlare di baricentro deve essere $1,x_i\inL^1(A)$, dove $1\inL^1(A)$ vuol dire semplicemente che ha misura finita, mentre non so che tipo di informazioni danno su $A$ la condizione $x_i\inL^1(A)$. Non dovrebbe essere soddisfatta solo imponendo $1\inL^1(A)$, un controesempio potrebbe essere il sottografico di $1/x^2$ su $[1,+\infty)$, ma mi sta fatica controllare con tutti i dettagli. Comunque se qualcuno sa come gestire queste condizioni, bene, sennò si fa tutto con $A$ limitato e si fa prima.