Esercizio su un endomorfismo autoaggiunto

[j18eos]

Quegli autovettori sono ortogonali per il Teorema Spettrale

[Bokonon]

Ma perché assumi che A sia la base canonica? Se lo assumi, tralaltro, è evidente $(e_1-e_2)^T*e_3=0$... è una tautologia.
La base A può essere qualsiasi terna di vettori lin. indip.
Il problema non richiede che tu li conosca.

[Magma]

@j18eos:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quegli autovettori sono ortogonali per il Teorema Spettrale

L'endomorfismo associato alla matrice $I_2$ può avere come base di autovettori anche l'insieme ${((1),(1)), ((0),(1))}$.

[Bokonon]

Quegli autovettori sono ortogonali per il Teorema Spettrale

Armando ci sono solo due autospazi
I primi due autovettori sono associati all'autovalore -1 mentre il terzo all'autovalore 3.
Il teorema ci assicura che sicuramente il terzo autovettore è perpendicolare ai primi due.
Poteva benissimo trovare gli autovettori (0,0,1) e (1,-1,1)
Essi sono una base dell'autospazio collegato a -1 ma non sono perpendicolari. Però il problema non si pone perché possiamo sempre cambiare base e trovarne due perpendicolari.
In questo senso è sempre possibile trovare una base ortogonale di $RR^n$ anche quando ci sono radici coincidenti!

...mica sempre si trovano n radici distinte e mica sempre (dai calcoli) saltano fuori vettori ortogonali due a due e relativi al medesimo autovalore.

[j18eos]

Scusatemi: mi ero auto-convinto che ci fossero \(\displaystyle3\) autovalori distinti, cosa non vera in questo esercizio!

[Fabio._94]

Ma io non sto assumendo A come base canonica, per definizione $(1,-1,0)_A=1*v_1-1*v_2$. In ogni caso il teorema giustamente ci assicura l'esistenza, ma come la trovo? L'esercizio mi chiede di trovarla. O forse non sto capendo qualcosa?

[Fabio._94]

Ma perché assumi che A sia la base canonica? Se lo assumi, tralaltro, è evidente $(e_1-e_2)^T*e_3=0$... è una tautologia.
La base A può essere qualsiasi terna di vettori lin. indip.
Il problema non richiede che tu li conosca.

Quello che penso io è che non posso sapere se $(1,-1,0)_A$ e $(0,0,1)_A$ sono ortogonali o meno, perché sono coordinate rispetto ad una base, quindi non posso fare il prodotto scalare canonico direttamente. Il teorema ci assicura che un a tale base esiste, ma non è detto che sono quelli che ho trovato io no?

[j18eos]

Praticamente hai due autospazi distinti, per il teorema Spettrale i vettori dell'uno sono ortogonali all'altro;

inoltre, avendo uno dimensione \(\displaystyle2\), puoi utilizzare l'algoritmo di Gram-Schmidt per calcolarti una base ortonormale di autovettori, e completarla poi ad una base ortogonale di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\).

Ti è un po' più chiaro il discorso?

[Fabio._94]

Si questo lo so, ma mi chiede di trovarla esplicitamente. Potreste farmi vedere come la trovate esplicitamente?

[Magma]

Di solito funziona al contrario: dovesti esporre il tuo svolgimento in modo da agevolare la risposta.