successione già vista ma...

[gugo82]

Come ho fatto sopra: devi fissare $x$ (non $n$) e far variare $n$ (non $x$).

Fissato $x in ]0,1]$ esiste un indice $n_x$ a partire dal quale in poi risulta $1/n <= x <= 1$, cosicché per $n >= n_x$ hai $f_n (x) = - x^2 + (n+1)/n x - 1/n$; dunque:

$0 < x <= 1\ =>\ lim_n f_n(x) = - x^2 + x =: f(x)$.

D’altra parte, in $ 0$ hai $f_n(0) = 0$ per ogni $n$; dunque $lim_n f_n(0) = 0 = f(0)$.

Morale, la tua successione converge puntualmente verso $f(x) := - x^2 + x = x (1-x)$.

[Gandalf73]

Si tutto chiaro.Poi valgono le considerazioni che ho fatto per la convergenza uniforme?
Spero di si (il massimo degli scarti...assunto in $(n+1)/(2n)$...etc etc).....

[gugo82]

Se credi che gli scarti abbiano massimo c'è qualcosa di Analisi 0.5 che, fossi in te, andrei a rivedere…

[Gandalf73]

Ma scusa la derivata del valore assoluto della differenza quanto fa?
A me torna
$ -2x +(n+1)/n $ o sbaglio?Quindi il sup della differenza avrebbe un max oppure sbaglio?

[pilloeffe]

o sbaglio?

Sbagli:

$|f_n(x) - f(x)| = | - x^2 + (n+1)/n x - 1/n - (- x^2 + x)| = $
$ = |- x^2 + x + x/n - 1/n + x^2 - x| = |1/n x - 1/n| $

[Gandalf73]

Si, ho fatto la derivata della funzione limite e non della differenza!
Atmosfera da 31 Dicembre sia pur monca
A questo pto....risulta immediata la cosa: il massimo degli scarti nel punto 1 con annessa uniforme convergenza dimostrata.Errato?

[gugo82]

Hai scritto chi è la funzione $|f_n - f|$? Ti sei accorto che è definita per casi? Ed hai notato che non è limitata superiormente in $[0,1]$?
Dunque, mi spieghi come cavolo fa ad avere un massimo?

Ti ostini a guardare i "pezzi", ma continui a perdere di vista il quadro generale.

[Gandalf73]

Scusami Gugo, per me parliamo di due cose diverse o stiamo guardando aspetti diversi.
Ti avevo semplicemente chiesto (per fare un test su ciò che ho capito),se la differenza scritta sotto (riportata da Pilloeffe) $ |f_n(x) - f(x)| = |- x^2 + x + x/n - 1/n + x^2 - x| = |1/n x - 1/n| $ fosse benedettamente limitata o no in quello che è l'intervallo di definizione fissato.
Al di là del tecnicismo spinto, la risposta non dovrebbe allontanarsi da un si o un no (senza i dettagli del caso che saranno pure preziosissimi ma al momento mi avrebbero solo confuso).
Se nell'intervallo ha un carattere di monotonia stretta (sempre la differenza di cui sopra)...perchè non posso dire che il sup è ottenuto nell'estremo dell'intervallo? Ed ancora ...se il limite (sempre con riferimento al sup della differenza sopra) per n che va ad infinito va a zero perchè non posso concludere che è uniformemente convergente?
Ripeto un dettaglio espressivo o un tecnicismo più spinto non mi porta ad afferrare il concetto meglio di un si o un no adesso come adesso.....

Ps visto che ci siamo...che l'anno nuovo sia meglio del vecchio per svariate cose!

[gugo82]

No.

Gandalf73, scusa, ma tu innanzitutto vuoi capire quello che succede a tutta la successione in tutto l'insieme di convergenza puntuale, cioè in tutto $[0,1]$.
Dato che:

$|f_n (x) - f(x)| =\{ (|x/(1-nx) + x^2 - x|, ", se " 0 <= x < 1/n), ((1-x)/n, ", se " 1/n <= x <= 1):}$

è evidente che per $x -> (1/n)^-$ lo scarto tende a $+oo$, quindi per ogni $n in NN$ risulta:

$"sup"_(0<= x <= 1) |f_n (x) - f(x)| = +oo$

perciò la convergenza non può essere uniforme su tutto $[0,1]$.

La cosa cambia appena consideri qualche sottoinsieme di $[0,1]$, come ad esempio gli intervalli del tipo $[a,1]$ con $0< a <1$.
Infatti, dato che fissato $a$ esiste un $n_a$ a partire dal quale in poi risulta $1/n<= a$, hai $[a,1] sube [1/n,1]$ e perciò:

$a<= x <=1\ =>\ |f_n (x) - f(x)| = (1-x)/n$

per ogni $n >= n_a$, dunque anche:

$"sup"_(a<=x <= 1)|f_n (x) - f(x)| <= (1-a)/n$,

col secondo membro infinitesimo; perciò c'è convergenza uniforme in $[a,1]$.

Tanti per curiosità, cosa succede negli intervalli del tipo $[0,b]$ con $0<b<1$?

[Gandalf73]

Gugo grazie, mi si schiariscono le idee.
Adesso quello che non mi è affatto chiaro è perchè quando la $x$ è compresa tra $ [0,1/n [ $ la $ |f_n (x) - f(x)| $ risulta pari a $ |x/(1-nx) + x^2 - x| $?
Già perchè la funzione a cui tende la successione è certamente quella indicata $ (x^2 - x) $ ma lo è tra $[1/n , 1] $ e correttamente sostituita fornisce ciò che osservo. Tutto chiaro il resto. Qualcosa mi sfugge nel processo logico?
Perdonami ma esplorando così l'argomento riesco a mettere a fuoco il ragionamento in ogni piega distillandone poi i concetti.
A.