Baricentro di un insieme convesso

[otta96]

Penso che il baricentro di un insieme convesso debba appartenere all'insieme, ma come si dimostra?
Preso un insieme convesso $A\subseteqRR^n$, questo dovrebbe essere misurabile perchè $A\setminus\text{int}(A)\subseteq\partialA$ e immagino che $\partialA$ abbia misura nulla anche se non saprei esattamente perchè.
Forse ci si può basare sul fatto che credo sia vero che $\partialA$ si possa scrivere come unione di un numero finito di grafici di funzioni convesse (eventualmente ruotati) di cui $2n$ dovrebbero bastare, a quel punto la sua misura sarebbe $0$.
Poi però non so come dimostrare ciò che mi interessa.
Ah poi mi è appena venuto in mente che, per avere senso parlare di baricentro deve essere $1,x_i\inL^1(A)$, dove $1\inL^1(A)$ vuol dire semplicemente che ha misura finita, mentre non so che tipo di informazioni danno su $A$ la condizione $x_i\inL^1(A)$. Non dovrebbe essere soddisfatta solo imponendo $1\inL^1(A)$, un controesempio potrebbe essere il sottografico di $1/x^2$ su $[1,+\infty)$, ma mi sta fatica controllare con tutti i dettagli. Comunque se qualcuno sa come gestire queste condizioni, bene, sennò si fa tutto con $A$ limitato e si fa prima.

[gugo82]

A che livello sei con la convessità?

[otta96]

Non so bene come risponderti, tu prova a rispondere. Semmai se non capisco ti chiedo chiarimenti.

[otta96]

Ma non volevi rispondere?

[dissonance]

Penso che il baricentro di un insieme convesso debba appartenere all'insieme, ma come si dimostra?

Si, è vero. Si dimostra applicando la disuguaglianza di Jensen alla funzione indicatrice del convesso, ovvero quella funzione che vale \(\infty\) fuori e \(0\) nel convesso. Tale funzione è convessa.

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 80#p423280

Ah poi mi è appena venuto in mente che, per avere senso parlare di baricentro deve essere $1,x_i\inL^1(A)$, dove $1\inL^1(A)$ vuol dire semplicemente che ha misura finita

Eh già, sono questioni sottili. Immagino che, per un corpo convesso (ovvero un insieme convesso con interno non vuoto), avere misura finita sia equivalente ad essere limitato. Per un insieme non limitato non saprei quanto senso abbia parlare di “baricentro”. Dov’è il baricentro di una retta? Non vedo nessun criterio per selezionare un punto rispetto ad un altro.

In conclusione, tutto questo discorso ha senso solo per insiemi limitati.