Calcolo di integrale triplo

[Dracmaleontes]

Si calcoli il volume dell'insieme $$ E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1,\hspace{1mm}\sqrt{2}(x^2+y^2) \leq z \leq \sqrt{6}(x^2+y^2) \} $$

Io ho provato in coordinate cilindriche, in questo sistema di coordinate:

$$ E = \{( \rho, \theta ,z) \in \mathbb{R}^3 : \rho^2 + z^2 \leq 1,\hspace{1mm}\sqrt{2}\rho^2 \leq z \leq \sqrt{6}\rho^2, \hspace{1mm}0 \leq \theta \leq 2\pi, \hspace{1mm} \rho \geq 0 \} $$

Da $\rho^2 + z^2 = 1$ e $\sqrt{2}\rho^2 \leq z \leq \sqrt{6}\rho^2$ ricaviamo:
$$ \frac{1}{\sqrt{3}}\leq \rho \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $$

A questo punto:

$Vol(E) = \int\int\int_E \rho \dz\d\rho\d\theta = \frac{5}{72} \pi (\sqrt{6} - \sqrt{2})$
Ho sbagliato parametrizzazione? qualcuno può aiutarmi a capire dove sta l'errore?

Il risultato dovrebbe però essere: $Vol(E) = \frac{1}{216}(44\sqrt{6} -63 \sqrt{2}) \pi$

[gugo82]

Prova a postare i passaggi.

Il dominio nel piano $Orhoz$ è quello in figura (interno al cerchio e compreso tra i due archi di parabola) e, pur essendo normale all'asse $rho$, va spezzato in due pezzi.

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[Dracmaleontes]

Ok provo a postare i passaggi
$Vol(E) = \int\int\int_E \rho \dz\d\rho\d\theta = \int_0^{2 \pi} \int_\frac{1}{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}] \int_{\sqrt{2}\rho^2}^{\sqrt{6}\rho^2} \rho dz d \rho d \theta = 2 \pi \int_\frac{1}{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}] \rho^3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) d \rho = \frac{\pi}{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) [\rho^4]_{\frac{1}{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{2}} $
Da cui si ottiene il risultato: $Vol(E) = \frac{5}{72} \pi (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

PS. che software hai utilizzato per il plot in coordinate polari?

[gugo82]

Quello non può essere l'integrale giusto.
Infatti, rispetto a $rho$ e $z$ stai integrando su un dominio che non è quello corretto, cioè non è quello disegnato sopra.

Per il grafico ho usato il tool messo a disposizione sul forum.

[Dracmaleontes]

Ma a questo punto qual è il dominio corretto? Proprio non riesco a capire

[gugo82]

Beh, l'ho scritto nel mio primo post... Guarda la figura.
Com'è fatta la zona compresa tra le parabole e la circonferenza?
Da quali disuguaglianze è descritta?

[Dracmaleontes]

Come avevo scritto nel primo post, credo che le disuguaglianze siano queste:
$$E = \{( \rho, \theta ,z) \in \mathbb{R}^3 : \rho^2 + z^2 \leq 1,\hspace{1mm}\sqrt{2}\rho^2 \leq z \leq \sqrt{6}\rho^2, \hspace{1mm}0 \leq \theta \leq 2\pi, \hspace{1mm} \rho \geq 0 \}$$
Però da qui non riesco a ricavare risultati diversi da quelli già citati

[feddy]

Nel disegno di @gugo devi separare quella porzione tramite un segmento orizzontale verticale passante per l'intersezione tra il cerchio e la parabola "superiore" (più facile disegnarlo che scriverlo, un disegno rende molto meglio ) Una volta fatto ciò, hai due regioni molto più facili da descrivere

[gugo82]

Come avevo scritto nel primo post, credo che le disuguaglianze siano queste:
$$E = \{( \rho, \theta ,z) \in \mathbb{R}^3 : \rho^2 + z^2 \leq 1,\hspace{1mm}\sqrt{2}\rho^2 \leq z \leq \sqrt{6}\rho^2, \hspace{1mm}0 \leq \theta \leq 2\pi, \hspace{1mm} \rho \geq 0 \}$$
Però da qui non riesco a ricavare risultati diversi da quelli già citati

E vabbè, questo ce lo siamo detti, il problema non è a questo livello.

Da quanto hai scritto si deduce che, in coordinate cilindriche, il dominio $E$ è il prodotto cartesiano dell'intervallo $[0,2pi]$, in cui varia $theta$, e del dominio $D$, in cui variano $rho$ e $z$, individuato dalle disuguaglianze $ \rho^2 + z^2 \leq 1,\ \sqrt{2}\rho^2 \leq z \leq \sqrt{6}\rho^2,\ rho >=0$.
Quello che dobbiamo fare è descrivere $D$ attraverso disuguaglianze più adatte ad impostare il calcolo dell'integrale.

Il dominio $D$ è quello contenuto nel semipiano delle $rho$ non negative delimitato dalle parabole di equazioni $z= sqrt(2) rho^2$ e $z=sqrt(6)rho^2$ e dalla circonferenza unitaria di equazione $rho^2 + z^2 =1$.

Facendo un disegno (vedi sopra) ci siamo accorti che $D$ ha tre "vertici" nei punti $O=(0,0)$ (intersezione delle due parabole), $A=(1/sqrt(2), 1/sqrt(2))$ (intersezione della parabola inferiore con la circonferenza) e $B=(1/sqrt(3), sqrt(2/3))$ (intersezione della parabola superiore con la circonferenza) e che $D$ è normale rispetto ad entrambi gli assi.
Se scegliamo di rappresentarlo come normale all'asse $rho$, osservando il disegno ci accorgiamo che $D$ deve essere pensato come unione di due sottodomini $D_1$ e $D_2$, il primo costituito dai punti aventi $0<= rho <= 1/sqrt(3)$ e $sqrt(2) rho^2 <= z <= sqrt(6) rho^2$ ed il secondo dai punti con $1/sqrt(3) <= rho <= 1/sqrt(2)$ e $sqrt(2) rho^2 <= z <= sqrt(1-rho^2)$, che non hanno punti interni in comune.

Quindi per proprietà additiva e formule di riduzione hai:

$int_E rho\ "d" rho "d" theta "d" z = int_0^(2pi) "d" theta * int_D rho\ "d" rho "d" z= int_0^(2pi) "d" theta * (int_(D_1) rho\ "d" rho "d" z + int_(D_2) rho\ "d" rho "d" z) = 2pi * (int_0^(1/sqrt(3)) "d" rho int_(sqrt(2) rho^2)^(sqrt(6) rho^2) rho\ "d" z + int_(1/sqrt(3))^(1/sqrt(2)) "d" rho int_(sqrt(2) rho^2)^(sqrt(1- rho^2)) rho\ "d" z)$,

da cui dovresti trarre il risultato.

***

Perché con il tuo metodo non trovavi il risultato giusto?

Beh, perché l'insieme di integrazione rispetto a $rho$ e $z$ che individuano le tue disuguaglianze non è $D$, ma proprio un altro!

Infatti, tu integravi su $D^\prime =\{ 1/sqrt(3) <= rho <= 1/sqrt(2),\ sqrt(2) rho^2 <= z <= sqrt(6) rho^2\}$ che è il dominio delimitato dalle due parabole di cui sopra e dalle rette verticali di equazioni $rho =1/sqrt(3)$ e $rho=1/sqrt(2)$.

[Dracmaleontes]

Credo di aver capito,grazie. $D_1$ e $D_2$ sarebbero quelli in figura?