DavidGnomo ha scritto:La risposta è giusta ma vorrei essere più formale dal punto di vista matematico. Quel che voglio dire è che vorrei utilizzare un modo più preciso per risolvere questo tipo di esercizi. Ne ho risolti altri simili ma tutti risolti in questo modo "intuitivo". Avete suggerimenti? Grazie
Lo formalizzi con il principio di inclusione-esclusione. Hai che dato un insieme \(A\), e denotiamo \( \left| A \right| \) la sua cardinalità, i.e. numero di elementi, e inoltre siano dati \( A_1, \ldots, A_n \) dei sottoinsiemi di \(A\) non necessariamente disgiunti. Allora
\[ \left| \displaystyle{\bigcup_{j=1}^{n}} A_j \right| = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq n } \left| \displaystyle{\bigcap_{i=1}^{k}} A_{j_i} \right| \]
Questa formula complicata con due sottoinsiemi \(A_1,A_2 \) si traduce semplicemente in
\[ \left| A_1 \cup A_2 \right| = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| - \left| A_1 \cap A_2 \right| \]
mentre con 3 sottoinsiemi \( A_1,A_2,A_3 \) hai
\[ \left| A_1 \cup A_2 \cup A_3 \right| = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| + \left| A_3 \right| - \left| A_1 \cap A_2 \right| - \left| A_1 \cap A_3 \right| - \left| A_2 \cap A_3 \right| + \left| A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right| \]
Suddividi i tuoi \( A_1 \) con studenti di francese, \(A_2 \) studenti di inglese, e \(A_3 \) studenti nullafacenti.
Hai che
\[ \left| A_1 \cup A_2 \right| = 19 = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| - \left| A_1 \cap A_2 \right| \ \ \ \ (1.0) \]
inoltre puoi sostituire i valori che conosci e ottieni in (1.0)
\[ 19 = 10 + 12 - \left| A_1 \cap A_2 \right| \ \ \ \ (1.0) \]
da cui
\[ \left| A_1 \cap A_2 \right| = 22-19=3 \ \ \ \ (1.0) \]
Alternativa (più complicata):
oppure usare quella per 3 insiemi hai che
\[ \left| A_1 \cup A_2 \cup A_3 \right| = 24 \ \ \ \ (2.0) \]
sostituisci i valori che conosci e usando il principio di inclusione-esclusione hai che (2.0) si può scrivere anche
\[ 24 = 10+ 12 + 5 - \left| A_1 \cap A_2 \right| - 0 - 0 + 0 \ \ \ \ (2.0) \]
Domanda per te: perché possiamo dire che \( \left| A_1 \cap A_3 \right| = \left| A_2 \cap A_3 \right| = \left| A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right| = 0 \) ??
E ottenere quindi che
\[ \left| A_1 \cap A_2 \right|= 27-24 = 3 \]
L'intuizione che ci sta dietro a quella formula è facile da capire facendosi un diagramma di Venn classico. Ad esempio con due insiemi \( A_1, A_2 \) vuoi capire quanti elementi contiene l'unione, conti prima gli elementi di \(A_1 \) poi gli elementi di \(A_2\) solo che hai contato due volte gli elementi che stanno sia in \(A_1\) sia in \(A_2\) e quindi devi togliere gli elementi di \( \left| A_1 \cap A_2 \right| \), altrimenti li avresti contati due volte. Allo stesso modo prova a capire l'intuizione con tre insiemi usano i diagrammi di Venn.
L'idea rimane invariata!
DavidGnomo ha scritto:PS: Sapete come si scrive in latex il simbolo di non inclusione? Ho provato $\not\subseteq$ ma non funziona.
Per il simbolo di non inclusione è corretto \not\subseteq, solo che lo hai messo tra i due dollari "$" mentre devi metterlo tra "\ (" e "\ )", senza gli spazi. E ottieni \( \not\subseteq \)
