Due lezioni a liceale per orientarlo a matematica (o no)

[nato_pigro]

Ciao a tutti,
un ragazzo che attualmente frequenta il penultimo anno di liceo classico ha sviluppato interesse e passione per la matematica e sarebbe intenzionato a farla all'università. E' sicuramente un ragazzo brillante e i suoi dubbi non riguardano tanto il fatto di aver fatto il classico quando capire se la matematica può essere la sua passione.

Mi ha chiesto se gli posso fare un paio di lezioni, delle chiacchierate su alcuni argomenti. Da un parte non voglio rischiare di spaventarlo con un formalismo eccessivo, dall'altra non vorrei buttarla sul divulgativo senza sostanza. Vorrei preparare due lezioni su due argomenti, in qualche modo autoconclusivi ed eventualmente indipendenti. Che diano un'idea di cos'è la matematica a livello universitario, che non lo spaventino ma che neanche lo ingannino. Sicuramente due argomenti che possano trasmettere passione e innescare una scintilla.
Sicuramente chiedo molto, ma sicuramente confrontandomi con vuoi sono sicuro che uscirà qualcosa di buono.

Avete dei suggerimenti?

P.S.: se esistessero già delle "lezioni pronte" con tanto di dispense sarebbe l'ideale (si veda nickname... )

[Martino]

Ciao! Ricordo che uno dei miei primi impatti con la matematica "vera" ha riguardato il determinante di una matrice. La sua definizione formale (con le permutazioni), le sue proprietà (con dimostrazione), il fatto che una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

Non sto suggerendo di fare tutto questo, suggerisco di scegliere una cosa specifica (tipo il caso 2x2) e poi però di fare tutte le dimostrazioni, di spiegare le cose non lasciando niente non dimostrato (e questo include i vari "se e solo se" e le regolette logiche di base che spesso spiazzano gli studenti alle prime armi).

In generale, sceglierei una cosa semplice e però poi dimostrerei tutto.

[gabriella127]

Da studente asino dopo il liceo classico, dove non avevo mai fatto niente di matematica, nemmeno l'equazione della retta, mai vista una funzione, lo shock ( in senso positivo) sono state le serie numeriche, le somme infinite, ma fatte bene, compresi i riordinamenti di Riemman, il salto di qualità verso il 'volare alto'.

Dopo, ma quello è un po' avanzato per un liceale, credo, le successioni di funzioni, e poi, vabbe', tutta la costruzione dei numeri reali.

Ho avuto un trauma e pensavo: questi non sono matematici, sono maghi.

[ghira]

le catene di markov
il teorema di sprague-grundy
i sistemi dinamici
i codici huffman, hamming ecc.

[Luca.Lussardi]

Così si spaventa solo la gente a mio modo di vedere, io ogni anno a metà novembre faccio una lezione (organizzata dal polito per gli studenti di quinta, quest'anno erano circa 3600 studenti) che vorrebbe proprio essere di orientamento. L'argomento (suggerito anche da gabriella) è una introduzione alle serie, ma non va fatto iniziando con la definizione, bensì con esempi espliciti che mostrano che le cose vanno male se uno non sta attento (1-1+1-1 ecc... per finire con 1+2+3+4+...=-1/12 che si vede anche senza analisi complessa). Dopo la parte formale di definizioni uno può sviluppare pi greco in serie o fare esempi sui frattali a mano.

[j18eos]

Spiegare le operazioni insiemistiche utilizzando dapprima i diagrammi di Eulero-Venn e poi il formalismo proprio?

Solo che il primo approccio lo deve svolgere lui, e il secondo lo svolgi te!

[gabriella127]

'argomento (suggerito anche da gabriella) è una introduzione alle serie, ma non va fatto iniziando con la definizione, bensì con esempi espliciti che mostrano che le cose vanno male se uno non sta attento (1-1+1-1 ecc... per finire con 1+2+3+4+...=-1/12 che si vede anche senza analisi complessa). Dopo la parte formale di definizioni uno può sviluppare pi greco in serie o fare esempi sui frattali a mano.

Mi fa piacere che Luca concorda che le serie sono un argomento accessibile e affascinante, e ricco di risorse culturali.
Spiego meglio perché in passato sono stata colpita dalle serie e non da limiti, derivate, integrali... etc. fatti prima.

Lo studente che fa limiti etc. si trova più che altro di fronte a technicalities tipo $\epsilon-\delta$, si impicca a quelle, si dispera sugli esercizi. Non vede quello che c'è dietro e prima, in particolare il rapporto con l'infinito e l'infinitamente piccolo, vede l'infinito, per così dire, gia addomesticato.

Con le serie, si è di fronte al problema nudo e crudo dell'infinito, l'infinito allo stato selvaggio, e del sommare infiniti termini, discusso ben prima della matematica moderna, Aristotele, Zenone e compagni in poi, con tutte le complicazioni e i paradossi da cui non si usciva.

Con la teoria delle serie questo è stato fatto, l'infinito, almeno quello potenziale, è stato assoggettato, con risultati secondo me finissimi dal punto di vista intellettuale e spesso controintuitivi, e qualcuno mirabolante come i riordinamenti di Riemann.

Questo se uno ha un gusto per l'astratto e un po' filosofico, cosa che a me interessava (il ragazzo ha fatto il classico e dovrebbe aver studiato filosofia, non so se gli piace).

Ma il grande salto, per quello che ho osservato stando tra studenti di matematica, tra la matematica della scuola e quella universitaria è proprio la teoria e l'astratto. Se si ama solo il lato meccanico della matematica e il fare esercizi come a scuola meglio non iscriversi a matematica. Ho visto ragazzi del primo anno spiazzati, che poi si sono ritirati.

Poi ci sono tante altre cose più matematiche come quelle che ha citato Luca.

[ghira]

Vedete per esempio:

https://www.solipsys.co.uk/new/Mathemat ... ?EntryPage

e

https://mathsinspiration.com/

Conosco un bel po' di queste persone grazie a mathsjam e gathering for gardner.

[nato_pigro]

Grazie a tutti per le risposte.

Mi piacciono molto i suggerimenti delle serie numeriche e del calcolo del determinante, entrambe hanno bisogno di pochi prerequisiti e si può "arrivare a un punto significativo" in un'ora e mezza o due a lezione.
L'unico dubbio che ho sul determinante è che, mentre per le serie la bellezza e il fascino è sufficientemente immediato, per il determinante bisognerebbe almeno fare un'introduzione sulle matrici (cosa sono, a cosa servono dove si usano). Trovo difficile (non saprei come) trasmettere la passione per il calcolo del determinante a una persona che vede le matrici per la prima volta.

Un altro aiuto che vi che vi chiederei è se avete delle dispense o risorse pronte. Ormai sono 10 anni che non mastico quella roba. La ricordo, la capisco e penso che saprei spiegarla ma forse mettere su da zero un discorso coerente ed essenziale forse per me è troppo.

[gabriella127]

Da ex studente asino (non che voglia diminuire la mia asinaggine attuale ), insieme alle matrici, l'impatto con l'algebra lineare e gli spazi vettoriali fu di grande fascino, mi piaceva che i vettori non fossero solo le freccette ma questi cosi astratti in uno spazio, può anche colpire il nesso con la geometria e il passaggio a dimensioni maggiori di $3$.

Ma come sempre sono cose soggettive, può pure scocciare a morte, boh.
C'è chi ama più vedere le applicazioni, Io ho sempre avuto il gusto per l'astratto, se mi dicevi 'gruppo e monoide' ero contenta pure se non sapevo niente, ma capisco anche un ragazzo che se gli parli dei gruppi si addormenta con la faccia sul libro.