Elasticità della domanda rispetto al prezzo

[Marco1005]

La funzione della domanda di un certo tipo di libreria dipende dal prezzo “p” e dal reddito “r” del consumatore, secondo la legge $d=-4p^2-r^2+6rp$

Analizziamo il comportamento della domanda attraverso le funzioni marginali quando $p=40$ e $r=50$

Bene, se sostituisco ottengo che la domanda con $p=40$ e $r=50$ è 3.100.
Utilizzando la definizione di elasticità, solo rispetto al prezzo, calcolo la derivata prima rispetto a “p”
$D’_p=-8p+6r$
Sostituisco $p=40$ e $r=50$ e ottengo $-20$
Questo significa che analizzando la funzione di domanda solo relativamente rispetto al prezzo, per un aumento di una unità del prezzo ottengo una riduzione della domanda pari a 20.
A questo punto provo a fare a mano lo stesso ragionamento quindi aumento di una unità il prezzo portandolo a $41$ e ricalcolo la domanda. La differenza dovrebbe venirmi 20.
Invece con $p=41$ mi risulta $3076$ e quindi la differenza è $24$
Com’è possibile?
Grazie mille

[gabriella127]

Ciao Marco.
Devi stare attento a non fare confusione tra due concetti di 'variazione marginale', come si usa dire in economia: ci sono due definizioni diverse a seconda se stiamo nel discreto o nel continuo.

Utilità marginale, costo marginale, produttività marginale, la variazione 'marginale' della domanda nel tuo caso, vengono definite come la variazione della funzione in questione per una variazione unitaria della variabile indipendente, il prezzo nel tuo caso, se siamo nel discreto (la variabile indipendente assume valori discreti, in genere i numeri naturali).
Se siamo nel continuo, invece, il termine 'marginale' sta a indicare la derivata.
Nel tuo caso la derivata della funzione di domanda rispetto al prezzo.

Non bisogna mischiare le due cose, se no escono pasticci, perché è ovvio che non coincidono: la derivata, intuitivamente parlando, nel tuo caso misura la variazione della domanda per un incremento piccolissimo, infinitesimo, del prezzo.
Invece una variazione di una unità è una variazione molto più grande di una variazione 'infinitesima', ed è ovvio che la diminuzione di domanda è maggiore.

Morale: attenzione sempre a verificare se si parla del continuo o del discreto.

N.B. quella che hai scritto è la derivata della funzione di domanda, non è l'elasticità, che è definita diversamente.

[Marco1005]

Grazie mille Gabriella,
mi sorge però un piccolo dubbio:
se la derivata prima rappresenta il coefficiente angolare( della retta tangente nel punto), che a sua volta rappresenta la variazione della y rispetto alla variazione unitaria della x, il concetto perché in microeconomia è diverso? Perché nel nostro caso l’utilità marginale (la derivata prima rispetto al prezzo) è riferita ad una variazione piccolissima del prezzo rispetto alla quantità e non alla variazione unitaria?
grazie mille in anticipo

[gabriella127]

Figurati!

Fai moolta attenzione, che ti stai confondendo.
In microeconomia e in matematica la definizione di derivata è la stessa, adesso scordati la microeconomia e pensa alla definizione di derivata, se non ce l'hai ben presente vai a riguardarla su un libro di analisi.

Io ho detto 'variazione infinitesima, piccolissima' per intenderci intuitivamente (si potrebbe parlare di infinitesimi, ma non è il caso), ma la derivata è il limite del rapporto incrementale della funzione, per l'incremento della variabile indipendente che tende a zero (in questo senso, visto che si avvicina a zero, si può dire intuitivamente 'infinitesimo, piccolissimo').

Quello che dici della tangente è vero, quello è il significato geometrico della derivata ma ora scordatelo, e guarda la definizione analitica di derivata.
Te la scrivo, per comodità.

Data una funzionen $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, si dice derivata della funzione in un punto $x_0$ il limite (se esiste, ovviamente):

$$\lim_ {h\rightarrow 0}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

dove la frazione è il cosiddetto rapporto incrementale. L'incremento della variabile indipendente $h$, come vedi, tende a $0$.

Se queste cose non le hai più ben presenti, vai a riguardarle su un libro di analisi, è importante che tu le abbia chiare!!