AIUTO! come risolvo la multifunzione?

[slash]

Ciao raga! Ho un bel problemone!!!Non riesco a risolvere,ne tantomeno a trovare informazioni( testi, appunti, esercizi svolti) sul seguente problema :

siano S1=[0,4] ed S2=[0,4]
e siano f1(x, y) = -(x-1)^2 + 2xy ed f2 (x,y) = xy^2


a)Trovare le multifunzioni di miglior risposta del primo e del secondo giocatore
b) Il gioco soddisfa il teorema degli equilibri di Nash?
c) Trovare gli eventuali equilibri di Nash

Aiutatemi, non so davvero come fare, e a breve ho un esame importantissimo!!
Vi ringrazio anticipatamente qualsiasi sia la vostra risposta.

[Fioravante Patrone]

basta che vai alla pag web che trovi nella mia "firma" e trovi tutto

in particolare
"teorema di Nash e preliminari", ovvero:
http://www.diptem.unige.it/patrone/deci ... kutani.pdf

e anche
"esempi di best reply"
http://www.diptem.unige.it/patrone/deci ... isegni.pdf

ciao

[Fioravante Patrone]

Ora una risposta un po' più diretta.

1.
la miglior risposta del giocatore 2 la trovi cercando i punti di massimo della funzione:
$f_2(x,y) = xy^2$.

Dato $\bar x \in [0,4]$, la devi cercare i punti di max della funzione $f_2(\bar x,y) = \bar x y^2$ sull'intervallo (delle $y$) $[0,4]$

Per $\bar x=0$, $f_2(\bar x,y) = f_2(0,y) = 0$ e quindi la miglior risposta è data da tutto l'intervallo (delle $y$) $[0,4]$
Per $0 < \bar x \le 4$, la $f_2(\bar x,y) = \bar x y^2$ assume massimo nel punto $y=4$.

Abbiamo così trovato la multifunzione di miglior risposta del giocatore 2
lascio a te il piacevole compito di trovare quella per 1.

2.
Per gli spazi della strategie, essi sono chiusi, convessi e limitati in $RR$, quindi soddisfano la condizione richiesta dal teorema di Nash
Quanto ai payoff, i payoff sono continui. E questo va bene.
Devono però essere quasi-concavi nella variabile decisionale del giocatore.
Ovvero, per $\bar y$ fissato in $[0,4]$, la funzione $f_1(x,\bar y)$ deve essere quasi-concava in $x$.
Ora, $f_1(x, \bar y) = -(x-1)^2 + 2x \bar y$ è una funzione concava (è una parabola "girata in giù"). Quindi è anche quasi-concava
Per $f_2$ basta osservare che, fissat la $x$, è debolmente crescente in $y$ e quindi è quasi-concava (ed anche quasi-convessa...)
Quindi possiamo applicare il teorema di Nash al gioco dato.
Che avrà quindi equilibrio (per così dire, in strategie pure. Non dobbiamo ricorrere alle strategie miste, né al teorema di Glicksberg, che comunque penso non avrete fatto).

3. per trovare gli equilibri di Nash, disegni nel quadrato $[0,4] \times [0,4]$ i grafici delle due multifunzioni e gli equilibri di Nash li trovi in corrispondenza delle loro intersezioni

s.e.o.