Cos'è l' autocorrelazione?

[albex]

Ciao a tutti,
fra 2 giorni ho l'esame di statistica economica ma non sto riuscendo proprio a capire cosa sia l'autocorrelazione, qualcuno saprebbe spiegarmi cos'è e a cosa serve?
Vi prego rispondete....

[Chicco_Stat]

Per capire cosa sia l'autocorrelazione bisogna partire dal concetto di serie storica, e a tal fine basta fare riferimento a qualsiasi fenomeno misurabile che varia nel tempo (o rispetto ad un qualche altro parametro) e la cui registrazione costituisce, appunto, tale serie. Più precisamente intendiamo una successione di osservazioni ordinate logicamente secondo una variabile t, la quale nella maggior parte dei casi (come nelle serie storiche finanziare) rappresenta il tempo.

Supponiamo quindi di dispore di un insieme di osservazioni, siano X(1), X(2),...,X(t-1),X(t),X(t+1),... , dove t è l'istante temporale, e di essere interessati a valutare se queste osservazioni siano in un qualche modo "collegate" tra di loro lungo lo scorrere del tempo. La funzione di autocorrelazione (che deriva direttamente da quella di autocovarianza) serve proprio a questo, ovvero a darci indicazione del fatto che una informazione Xt sia da ritenersi o meno dipendente in una qualche misura (quantificata appunto dai valori ottenuti dalla funzione) da una informazione ad un istante di tempo precedente X(t-h)

L'analisi dell'andamento della funzione di autocorrelazione al variare di questo h, ovvero lo studio dell'autocorrelazione a
(t-1), (t-2), (t-3),... e così via, è di fondamentale importanza per valutare la cosiddetta "memoria" della serie storica, ovvero quanto a lungo permane un'influenza di una particolare realizzazione (osservazione) di detta serie storica sulle realizzazioni seguenti. Per citarne un'applicazione, l'analisi della funzione di autocorrelazione (e di autocorrelazione parziale) è ampiamente impiegata come strumento decisionale nella costruzione dei modelli, noti dalla teoria dei processi stocastici, autoregressivi e a media mobile, i quali pongono la serie storica nell'ottica di "traiettoria di un processo stocastico". Ti risparmio i dettagli tecnici, che sarò comunque felice di illustrarti in caso me lo richiedessi, ma spero di essere stato chiaro: l'autocorrelazione fra le osservazioni X(t-h) e X(t) misura quanto al tempo t si risenta di quanto è successo al tempo t-h.

Spero di aver aiutato, sono stato volutamente molto qualitativo perché altrimenti si sarebbe andati alquanto per le lunghe!

[albex]

Ho capito.... ma quindi l'autocorrelazione è alla base del processo stocastico e serve per trovare i modelli generatori della serie storica, cioè attraverso l'autocorrelazione trovo ad esempio il modello autoregressivo o media mobile...
Ho detto giusto?....

[Chicco_Stat]

Più che dire che è alla base possiamo dire che è un aspetto della sua evoluzione temporale, della sua dinamica.
E serve appunto ad identificare l'ordine dei modelli ARIMA di varia specie, impiegati ad esempio per modellizzare l'andamento del rendimento di un titolo azionario, tanto per citare un caso pratico.

[albex]

Non ti arrabbiare se ti chiedo un'altra cosa, ma se puoi levami anche un altro dubbio, fra i vari modelli c'è un modello autoregressivo che è deterministico, un modello media mobile che è casuale e un modello cosiddetto arma che è sia deterministico che casuale, ma quest' ultimo è il modello media mobile in funzione di un processo autoregressivo oppure sono due modelli diversi....

[Chicco_Stat]

Perché dovrei arrabbiarmi
una precisazione però..il modello autoregressivo non è interamente deterministico, è presente anche una componente d'errore "white noise" $e_t$, se fosse interamente deterministico l'analisi non servirebbe in senso statistico.

un modello autoregressivo di ordine p è qualcosa del tipo:
$X_t = c + a_1*X_(t-1) + a_2*X_(t-2) +...+ a_p*X_(t-p) + e_t$

un modello a media mobile di ordine q è qualcosa del tipo:
$X_t = m + e_t + b_1*e_(t-1) + ... + b_q*e_(t-q)$

dove c ed m sono i livelli "medi", ed $e_t$ è il white noise (gaussiano, media nulla, varianza costante)

un modello ARMA altro non è che un mix dei due, ovvero contiene sia componenti derivanti da un AR (autoregressivo) che da un MA (moving average, media mobile) ed un modello ARMA di ordine (p,q) è qualcosa del tipo:

$X_t = k + a_1*X_(t-1) + a_2*X_(t-2) +...+ a_p*X_(t-p) + e_t + b1*e_(t-1) + ... + b_q*e_(t-q)$

k è ancora una volta una costante che indica un livello medio. Lo scopo è quello di impiegare congiuntamente le informazioni relative alle componenti passate (le X) e la componente stocastica (il white noise)

[albex]

Ma allora guarda io ho questa formula del modello autoregressivo
a1Xt-1+a2Xt-2+.......+apXt-p+Wt
dove a rappresenta i valori che danno importanza ad ogni tempo.... cosi ha detto il professore...
e Wt è un valore casuale ad un certo tempo t

ma allora Wt è il white noise?...
Se puoi risp ora....

[Chicco_Stat_]

sono sempre io, ho avuto qualche problema con l'account e ne ho aperto un altro

i coefficienti $a_j$ sono, come dice giustamente il tuo professore, "l'importanza", ovvero in linguaggio più tecnico i "pesi" relativi all'istante temporale $t-j$. Quando più grande, tanto più l'istante $t-j$ avrà influenza sul valore all'istante $t$.
$W_t$ è il white noise, ovvero rumore bianco, che è il modo di chiamare la realizzazione da una gaussiana (distribuzione normale) di media nulla, varianza finita e supposta incorrelata temporalmente (se è uscito un valore al tempo $t-h$ questo non ha minimamente influenza sul valore al tempo $t$, e questo per ogni $h$), insomma, le varie $W_t$ sono quelle che si dicono realizzazioni di un insieme di variabili iid $N(0,sigma^2)$, ovvero indipendentemente identicamente distribuite come una normale di media nulla e varianza costante.

[albex]

Ok dai ti faccio l'ultima domanda e poi non ti rompo più, scusami se ti do del tu ma non so neanche se sei un ragazzo o un signore, sicuramente da come spieghi sei laureato.....
Cmq come ci si arriva dall'autocorrelazione ai vari modelli... se è troppo lungo tranquillo non rispondere magari se puoi me lo accenni...

[Chicco_Stat_]

Dammi pure del tu perché ho 24 anni ed avrò il titolo di dottore magistrale solo il 20 di questo mese

Per poter arrivare ai vari modelli dalla funzione di autocorrelazione la via più semplice è quella di rappresentarla graficamente. Molti applicativi contemplano le funzioni necessarie atte a questo scopo; in particolare sottolineo che per poter valutare l'ordine di un processo MA serve la funzione di autocorrelazione, mentre per un AR serve la funzione di autocorrelazione parziale. Quest'ultima si definisce agilmente tramite la matrice di Teoplitz, ma porta comunque ad un sistema non lineare, denominato Equazioni di Yules-Walker; ogni difficoltà ad ogni modo svanisce poiché si usa un calcolatore!
Questi grafici vengono chiamati correlogrammi e sono delle sorte di istogrammi a barre separate (quando non delle curve nel caso continuo, ma evidentemente nella pratica questo non può succedere) e presentano una linea di demarcazione poco al di sopra dell'asse da cui partono tali istogrammi. Questa linea rappresenta un intervallo di confidenza al 95% (tipicamente, ma nulla vieta di scegliere un'altra probabilità) al di sotto del quale si accetta l'ipotesi che il processo è un rumore bianco; se disegni il correlogramma per un white noise che, per ipotesi, gode della proprietà di essere auto-incorrelato, gli istogrammini saranno tutti al di sotto di questa barra.
Nel caso di una qualunque serie storica si procede come segue:

1) si disegnano i correlogrammi completo e parziale
2) si osserva quale dei due ad un certo punto presenta istogrammini che non superano più la linea di demarcazione da quel momento in avanti, l'altro correlogramma presenterà istogrammi sistematicamente sopra a detta linea
3) se questo accade nel correlogramma completo allora si assume come sottostante un processo MA di ordine pari al numero di istogrammi che superano la linea prima di questa "interruzione", se invece succede nel correlogramma parziale si applica lo stesso criterio ma per un AR
4) nel caso la situazione sia dubbia, ovvero entrambi i correlogrammi ad un certo punto presentino questa interruzione, si supporrà un processo misto ARMA, ed il criterio per l'ordine è il medesimo presentato al punto 3

se vorrai dettagli più tecnici sarò felice di spedirti un piccolo paper che ho scritto per un corso di statistica economica II di un annetto e mezzo fa
sper di essere stato sufficientemente chiaro