ancora sulla probabilità

[needmathhelp]

si considerino le unità di tempo come discrete.
Ci sono tre uccelli A, B, C. Ad ogni unità di tempo un uccello può mangiare o fare la guardia, con probabilità 1/2 indipendentemente dagli altri uccelli o dalla loro azione precedente.
Ora, ad ogni unità di tempo arriva un falco e se non c'è almeno un uccello di guardia, si mangia uno degli uccelli a caso.

1) detta X il random number che conta il tempo che ci vuole per il falco per mangiare tutti 3 gli uccelli, quale è E(X)?
2) se il falco non mangia A per primo, quale è l'expected arco di tempo di vita di A?

grazie

[Piera]

Mi sembra che per risolvere il problema ti possa essere d'aiuto lo schema di ragionamento che si trova qui:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... ght=#64040

Indichiamo con $y_1$ il tempo che impiega il falco per catturare il primo uccello, con $y_2$ il tempo intercorrente tra la cattura del primo e del secondo uccello, con $y_3$ il tempo intercorrente tra la cattura del secondo e del terzo uccello.
Dalle osservazioni del link sopracitato si ha che le variabili $y_i$ sono geometriche di parametri $p_1=1/8$, $p_2=1/4$, $p_3=1/2$ rispettivamente (ad esempio, il falco cattura il primo uccello quando tutti e tre gli uccelli non sono di guardia e questo accade con probabilità $1/8$).
1) Il valore atteso richiesto è allora dato da $E(y)=E(y_1)+E(y_2)+E(y_3)=8+4+2=14$.
2) Consideriamo gli eventi:
X= A viene catturato per secondo;
Y = A non viene catturato per secondo, ovvero viene catturato per terzo.
Il tempo di vita atteso di A, sotto l'ipotesi che non sia stato catturato per primo, è dato da
$E(V)=E(V|X)*P(X)+E(V|Y)*P(Y)=(8+4)*1/2+(8+4+2)*1/2=13$.
Può darsi che abbia commesso qualche errore, i miei risultati sono quelli del libro?