Un
plain vanilla Interest Rate Swap corrisponde, per l'acquirente, ad assumere una posizione lunga su un titolo a tasso variabile (\(\displaystyle X \)) ed andare contemporaneamente corto su un titolo a tasso fisso (\(\displaystyle Y \)) le cui cedole sono determinate dal "tasso swap", \(\displaystyle r_{IRS} \) (annuo nominale) definito per scadenza del contratto e pagamenti (e.g. \(\displaystyle 2Y/1Y \) per contratti di due anni con pagamenti annuali), su uno stesso nozionale (\(\displaystyle C \)).
Si prezzano a partire dall'ipotesi di assenza di arbitraggi non rischiosi e sfruttando i principi di valutazione dei titoli indicizzati e della linearità del prezzo (fixed bond). Si parla di "gamba fissa" e "gamba variabile".
Nello specifico dell'esercizio il titolo indicizzato, visto che siamo all'emissione, quota alla pari e cioè:
\(\displaystyle V(t, X)=C \)
1Formalmente un interest rate swap, all'istante \(\displaystyle t \) (oggi) avrà valore pari a:
\(\displaystyle V(t, IRS)=V(t, X)-V(t, Y) \)
cioè
\(\displaystyle V(t, IRS)=Cv(t,t_{0})-[Cr_{IRS}\sum_{k =1}^{n}v(t, t_{k})+Cv(t, t_{n})] \)
Ipotizzando nozionale \(\displaystyle C=100 \) (ai fini dell'esercizio sarebbe la stessa cosa se fosse $1$ o $100000$), capitalizzazione continua (\(\displaystyle v(t, t_{h})=e^{-\delta(t, t_{h})(t_{h}-t)} \)) e visto che all'emissione il contratto ha valore nullo:
\(\displaystyle V(t, IRS)=0 \Longleftrightarrow V(t, X)=V(t, Y) \)
allora
\(\displaystyle 100=105e^{-\delta(t, 1)} \)
\(\displaystyle \Longleftrightarrow \delta(t, 1)=0,04879 \)
Per il secondo IRS si ha che:
\(\displaystyle 100=5,5e^{-\delta(t, 1)}+105,5e^{-\delta(t, 2)*2} \)
\(\displaystyle \Longleftrightarrow 100=5,5e^{-0,04879}+105,5e^{-\delta(t, 2)*2} \)
\(\displaystyle \Longleftrightarrow \frac {(100-5,2380)}{105,5}=e^{-\delta(t, 2)*2} \)
\(\displaystyle \Longleftrightarrow \delta(t, 2)=0,05367 \)
quindi gli zero rates sono: \(\displaystyle \delta(t, 1)=0,04879 \) e \(\displaystyle \delta(t, 2)=0,05367 \)
Nella pratica si usano Swap od anche forward (FRAs) per estrapolare la term structure, visto che come dicevo non è esplicita.