ZCB indicizzati(o FZCB)

[anto_zoolander]

Ciao

ho un dubbio su come venga capitalizzato questo titolo.

riporto un esempio

si supponga di investire un euro in T e che il titolo sia scindibile, allora

$V(s)B(T,s)=1$ e $V(T)B(t,T)=V(t)$ con $B(t,T)B(T,s)=B(t,s)$

quindi si ottiene $V(t)=B(t,T)$ e afferma:

Pertanto, il prezzo di un FZCB `e pari al prezzo di un ZCB sull’intervallo [t, T ]. Da un punto di vista grafico, il flusso di un FZCB sull’intervallo [t, s] equivale a quello di un ZCB sull’intervallo [t, T ].

fin qui è chiaro visto che $V(t)$ era il prezzo pagato per lo ZCB

ora continua con

L’interesse corrisposto a scadenza da un FZCB `e dato da,

$V(s)-1=i(T,s)$

e questo non l'ho completamente capito. Perché non calcola l'interesse in base al prezzo pagato inizialmente pari a $V(t)$? Viene capitalizzato solo il tratto [T,s]?

le possibilità che mi vengono in mente sono due:
1) si applica il tasso $i(T,s)$ all'intero tratto [s,t]
2) si applica il tasso $i(T,s)$ solo al tratto [T,s]

Penso che la risposta sia la prima in quanto quel tasso è quello rilevato in $T$, però mi viene spontaneo pensare: e nel tratto [t,T] l'investimento non viene capitalizzato? avrebbe senso qualora il tasso sia sufficientemente "grande" da compensare la mancata capitalizzazione di quel tratto....

aggiungo: forse ho sbagliato a considerare l'investimento in $t$. L'investimento dovrebbe essere unitario in $T$ e $B(t, T) $ dovrebbe essere il prezzo dello ZCB in $t$ sapendo il tasso applicato in $T$ e supponendo il titolo scindibile

[Gughigt]

Il punto fondamentale è la definizione stessa di FZCB:
è infatti quel titolo in grado di pagare $X_{s}$ all'istante $s$. Tale importo non è noto in $t$ e viene stabilito in $T$ in base al tasso di riferimento (e.g. LIBOR od EURIBOR) per la scadenza $s$ ($t<T<s $). Il pagamento del FZCB in $s$ è:

$X_{s}=\frac{1}{v(T,s)}=1+i(T,s)(s-T)$

.

Ora, il prezzo in $t$ del FZCB deve necessariamente essere:

$V(t,X_{s})=v(t,T) \quad t\leq T \leq s $

Perché? Ipotizziamo - tesi assurda - che $V(t,X_{s})>v(t,T)$, implementando la strategia seguente:
1. Vendita allo scoperto del FZCB con scadenza $s$
2. Acquisto spot di uno ZCB unitario con scadenza $T$
3. In $T$ si investe il flusso di cui al p.to precedente per acquistare $\frac{1}{v(T,s)}$ unità di ZCB con scadenza $s$
Così facendo si otterrebbe al tempo $t$ un flusso pari a:

$V(t,X_{s})-v(t,T)$

e un flusso nullo negli altri 2 periodi. Questo è - per tesi assurda ($V(t,X_{s})>v(t,T)$) - un free lunch. Cioè un arbitraggio privo di rischio.
È quindi necessario per definizione stessa del FZCB che $X_{s}=1+i(T,s)(s-T)$.
Ho usato la "mia" notazione ma dovrebbe essere comprensibile

[anto_zoolander]

Non mi è chiara soltanto una cosa: l'interpretazione del fattore di sconto $B(t, T) $

È il prezzo che avrei dovuto pagare in $t$ per garantirmi un flusso equivalente a quello del FZCB?

la quantità di denaro che vado a dichiare sul contratto verrà investita soltanto in $T$, alla rilevazione del tasso, e capitalizzando solo l'intervallo [T, s]?

Per esempio se ho un FZCB con rilevazione del tasso che avviene dopo sei mesi e capitalizzazione ad un anno, inoltre alla stipula ho dichiarato di investire $100000€$

Supponiamo che il tasso rilevato in $T=0.5$anni sia del $4%$(a scadenza, "quindi" semestrale) allora, secondo il mio ragionamento, l'interesse sarà $I(0.5,1)=4000€$

Mi sembra di capire che nel periodo [t, T] il mio capitale non subisce alcuna variazione perché effettivamente verrà investito soltanto alla rilevazione del tasso

[Gughigt]

Non mi è chiara soltanto una cosa: l'interpretazione del fattore di sconto $B(t, T) $

È il prezzo che avrei dovuto pagare in $t$ per garantirmi un flusso equivalente a quello del FZCB?

Sì, è il prezzo di un bond in $t$ che ti paga $1$ con certezza in $T$ prezzo del FZCB è coincidente con il prezzo dello ZCB scadenza $T$ perché altrimenti avresti la possibilità di ottenere un guadagno certo (vedi la dimostrazione sopra).

la quantità di denaro che vado a dichiare sul contratto verrà investita soltanto in $T$, alla rilevazione del tasso, e capitalizzando solo l'intervallo [T, s]?

Sì, esatto!

Mi sembra di capire che nel periodo [t, T] il mio capitale non subisce alcuna variazione perché effettivamente verrà investito soltanto alla rilevazione del tasso

Anche qui, è così, ma tieni conto che il concetto di FZCB è meramente teorico (viene usato per la valutazione delle cedole indicizzate). Non troverai mai sul mercato un FZCB né un trading floor che lo struttura!

[anto_zoolander]

Perfetto.
Comunque sei chiarissimo quindi tranquillo che a prima battuta ti fai capire

Ma quale sarebbe un possibile vantaggio se si avesse la possibilità di acquistare uno FZCB? Onestamente non ce ne vedo

[Gughigt]

Potrebbe essere che l’aspettativa sul valore del tasso lungo l’intervallo $[T, s]$ non sia correttamente inglobata in $B(t, T)$ e quindi tu pagheresti meno una cosa che vale di più... ma questo significa non accettare l’efficienza dei mercati (o quantomeno non in senso forte) ed in questo modo tutto i risultati della finanza matematica verrebbero messi in crisi
In altre parole accettare quello che ho detto prima significa che i trader razionali (arbitraggisti, che aggiornano le credenze a mezzo del teorema di Bayes e seguono una funzione di utilità sulla ricchezza finale à la von Neumann-Morgestern) sarebbero in grado di battere il mercato.