l'esercizio è il seguente
si hanno i seguenti ZCB:(la valuta è in lire ma poco cambia)
$z_1:$ costo $95,6$ rimborso $100$ quindi valore facciale $p_1 =0.956$
$z_2:$ costo $138,8$ rimborso $150$ quindi valore facciale $p_2=0.8853$
$z_3:$ costo $201,7$ rimborso $250$ quindi valore facciale $p_3=0.8068$
con scadenze in $t_1=90$giorni , $t_2=180$giorni e $t_3=360$giorni
si assuma come anno quello commerciale di $360$ giorni e si esprimano i tassi su base annuale.
svolgimento
per il calcolo dei tassi su base annuale(per ciascuno) utilizzo una delle seguenti
$p_a = p_(t_k)^(tau/(t_k-t))$ e $i_a = p_a^(-1)-1$
dove $p_a$ è il prezzo all'anno e $i_a$ il relativo tasso
oppure
$i_a = (1+i(t,t_k))^(tau/(t_k-t))-1$
i quali sono equivalenti essendo $p_(t_k)^(-1)=1+i(t,t_k)$
lo zcb $z_1$ impone un tasso spot a 90giorni di $i(0,90)=p_1^(-360/90)-1 approx 19,7205%$
lo zcb $z_2$ impone un tasso spot a 180giorni di $i(0,180)=p_2^(-360/180)-1 approx 27,591%$
lo zcb $z_3$ impone un tasso spot a 360giorni di $i(0,360)=p_3^(-1)-1 approx 23,95%$
per i tassi a termine utilizzo il fatto che in assenza di arbitraggi deve sussistere $B(t,T,s)=(B(t,s))/(B(t,T))$
quindi essendo $B(t,T,s)$ il prezzo di uno ZCB con scadenza in $s$ e stipula in $t$ basterà calcolare
$i = (B(t,T,s))^(-tau/(s-T))-1=(p_s/p_T)^(-tau/(s-T))-1$
quindi per calcolare il tasso a termine annuo relativo al tasso $i(t,t_k,t_(k+1))$ avremo
tasso annuale su $(0,90,180)$ $i=(p_2/p_1)^(-360/90)-1= (0.8853/0.956)^(-4)-1 approx 35,9783%$
tasso annuale su $(0,180,360)$ $i=(p_3/p_2)^(-360/180)-1=(0.8068/0.8853)^(-2)-1 approx 20,41%$
come vi sembra?
ma per "valore facciale" si intende il valore rimborsato a scadenza (i.e. il cosiddetto nominale)
