Stavo smanettando con le equazioni differenziali del modello SIR, in particolare con l'equazione
\( I'(t)=I(t)\left[\beta c \dfrac{S(t)}{N}-\gamma\right] \)
dove \(\beta\) è la probabilità di contagio nell'unità di tempo, \(c\) il numero di contatti medi, \(\gamma\) la probabilità di guarigione nell'unità di tempo, \(N\) la popolazione mondiale. A inizio epidemia, cioè quando \(t\) è molto piccolo, la quantità \(S(t)/N\) è prossima a 1. Risolvendo l'equazione differenziale in \(I_0(t)\) (la ribattezzo così per esplicitare che vale solo in un periodo iniziale dell'epidemia, quando \(S(t)\approx N\)) si ha:
\( I_0(t)=e^{\gamma (R_0-1)t} \)
dove \(R_0=\beta c/\gamma\) e, siccome voglio simulare un'epidemia, \(R_0\geq1\).
Ora, con un tool online ho potuto constatare che, se \(\gamma\) aumenta, \(I_0(t)\) tende a infinito più velocemente. Però, intuitivamente, se aumenta la probabilità di guarire dal patogeno, dovrebbe anche diminuire il numero degli infetti, no? Ho anche visto che, se \(\gamma=0\), la funzione chiaramente diventa \(I_0(t)=1\), per cui si ottiene che gli infetti si riducono a una sola persona.
Ho tentato di giustificare questi risultati così: all'aumentare di \(\gamma\) la funzione "impenna" perché in questa maniera si raggiunge prima il picco dei contagi; quell'unica persona contagiata nel caso \(\gamma=0\) è il famigerato "paziente zero".
Sapreste darmi qualche ragguaglio in merito all'interpretazione del grafico \(I_0(t)\) al variare del parametro \(\gamma\)?