Dubbio sul modello SIR

[_clockwise]

Buonasera a tutti! Non so se è questa la sezione giusta per la mia domanda, in caso negativo vi prego di scusarmi.

Stavo smanettando con le equazioni differenziali del modello SIR, in particolare con l'equazione

\( I'(t)=I(t)\left[\beta c \dfrac{S(t)}{N}-\gamma\right] \)

dove \(\beta\) è la probabilità di contagio nell'unità di tempo, \(c\) il numero di contatti medi, \(\gamma\) la probabilità di guarigione nell'unità di tempo, \(N\) la popolazione mondiale. A inizio epidemia, cioè quando \(t\) è molto piccolo, la quantità \(S(t)/N\) è prossima a 1. Risolvendo l'equazione differenziale in \(I_0(t)\) (la ribattezzo così per esplicitare che vale solo in un periodo iniziale dell'epidemia, quando \(S(t)\approx N\)) si ha:

\( I_0(t)=e^{\gamma (R_0-1)t} \)

dove \(R_0=\beta c/\gamma\) e, siccome voglio simulare un'epidemia, \(R_0\geq1\).

Ora, con un tool online ho potuto constatare che, se \(\gamma\) aumenta, \(I_0(t)\) tende a infinito più velocemente. Però, intuitivamente, se aumenta la probabilità di guarire dal patogeno, dovrebbe anche diminuire il numero degli infetti, no? Ho anche visto che, se \(\gamma=0\), la funzione chiaramente diventa \(I_0(t)=1\), per cui si ottiene che gli infetti si riducono a una sola persona.

Ho tentato di giustificare questi risultati così: all'aumentare di \(\gamma\) la funzione "impenna" perché in questa maniera si raggiunge prima il picco dei contagi; quell'unica persona contagiata nel caso \(\gamma=0\) è il famigerato "paziente zero".

Sapreste darmi qualche ragguaglio in merito all'interpretazione del grafico \(I_0(t)\) al variare del parametro \(\gamma\)?

[gabriella127]

Ho dato uno sguardo, e non mi sembra vero che

\( I_0(t)=e^{\gamma (R_0-1)t} \)

(dove \( R_0=\beta c/\gamma \))

cresce più velocemente se aumenta $gamma$. Infatti, se al posto di $R_0$ metti \( R_0=\beta c/\gamma \) e fai qualche passaggio ottieni: $I_0(t)= e^((beta c))/e^gamma$,

per cui la velocità di crescita è legata inversamente a $gamma$, come è intuitivo.

Non so che dice il tool online, non è che hai dimenticato di sostituire a $R_0$ $(beta c)/gamma$?

Un'altra osservazione: non ha molto senso parlare di 'picco'. Un picco si ha quando una grandezza cresce, raggiunge un apice e poi decresce; qui abbiamo un'esponenziale, che è monotona crescente.

[_clockwise]

Ma certo, hai ragione. Che errore stupido, non avevo proprio considerato la dipendenza di \(R_0\) da \(\gamma\)... Ora tutto torna e il grafico della funzione varia in modo prevedibile all'aumentare di tutti e tre i parametri. Grazie mille.

Per quanto riguarda il discorso del picco, certo, la funzione esponenziale non ha alcun massimo in \(\mathbb{R}\), però la funzione \(I(t)\), in un certo senso "l'estensione" di \(I_0(t)\), un picco ce l'ha. Si trova in corrispondenza dell'istante in cui l'epidemia incomincia a scemare (più precisamente quando \(R_0S=N\)).

[gabriella127]

Ah, ok, allora rileggo cercando di vedere il 'picco' di cui parli, interessante.
Scusa, una domanda: $S(t)$ cos'è? Il numero di persone sane che all'inizio dell'epidemia è all'incirca uguale alla popolazione?

[_clockwise]

\(S(t)\) è il numero di persone suscettibili all'istante \(t\), persone che non hanno sviluppato gli anticorpi per proteggersi dal virus. Quindi sì, si tratta di persone sane, ma faccio questa precisazione perché nel modello SIR sono sani anche gli individui che fanno parte dell'insieme \(R\) ("recovered"), non più infetti ma con gli anticorpi.

Se avessi a disposizione un'espressione analitica chiara per \(S(t)\) e \(I(t)\) sarebbe più semplice visualizzare il picco. Il problema è che si finisce per ottenere un sistema di equazioni differenziali non banalissimo da risolvere, e dandolo in pasto a WolframAlpha mi è stata restituita una scrittura infinita con varie funzioni non elementari (prima fra tutte quella di Lambert) e integrali definiti. Inutile dire che ho ignorato il tutto e mi sono limitato a una descrizione qualitativa dell'andamento delle due funzioni...
La maggior parte di quello che so sui modelli epidemiologici l'ho imparato da due video del canale YouTube "Non Solo Coding" del prof. Marcello Falco.

[gabriella127]

Ah ecco, i suscettibili, giusto, grazie.

Io ho fatto, parecchio tempo fa, alcuni modelli epidemiologici su libri di equazioni differenziali.
Poi ne ho fatti alcuni in Python, lì è facilissimo risolvere (numericamente) le equazioni differenziali (e fare i grafici delle soluzioni), visto che le risolve lui.
Ricordo un modello che si chiamava Zombie Apocalipse, che serviva a vedere se la terra sarebbe stata dominata dagli Zombi. E' come un modello epidemiologico, visto che ci si infettava con il morso degli Zombi.

Cercherò di guardare i video che citi.