In un sistema di riferimento inerziale $S'$ e data una particella di massa m e carica q che si muove con velocità $\overline u$ in una campo elettrico $\overline E$ e in un campo magnetico $\overline B$. Sappiamo che le equazioni della dinamica relativistica che descrivono il moto del quadrimomento $p^\mu = (E, \overline p)$ sono le seguenti:
$$\frac {dE}{dt} = q\overline u \cdot \overline E \\ \frac {d\overline p}{dt} = q(\overline E + \overline u \times \overline B) \\$$In base ad uno dei principi della relatività speciale di Einstein, la forma delle equazioni che descrivono una legge fisica deve rimanere invariata in tutti i sistemi di riferimento inerziale. Questo vuol dire che, in un sistema di riferimento inerziale $S'$ in moto con velocità $v$ lungo l’asse delle x, devono valere le stesse equazioni precedenti, ma con tutte le grandezze primate.
Alla luce di ciò, ricavare la legge di trasformazione dei campi elettrici e magnetici, nel passare da $S$ ad $S'$, sapendo solo le leggi di trasformazioni delle coordinate e dei momenti tra i due sistemi inerziali.
Sfruttando le relazioni sopra io conosco come si trasformano le seguenti quantità:
Coordinate:
$$
t' = \gamma (t-vx)\\
x' = \gamma(x-vt)\\
y' = y\\
z' = z
$$
Quadrimomento:
$$
E' = \gamma(E-vp_x)\\
p_x' = \gamma(p_x - vE)\\
p_y' = p_y\\
p_z' = p_z
$$
Velocità:
$$
u_x' = \frac{u_x-v}{1-vu_x}\\
u_y' = \frac{u_y}{\gamma(1-vu_x)}\\
u_z' = \frac{u_z}{\gamma(1-vu_x)}\\
$$
Io partirei con l'analizzare componente per componente:
$$
\frac{dE}{dt} = qu_iE_i\\
\frac{dp_i}{dt} = q(E_i + \varepsilon_{ijk}u_jB_k)\\
$$
E successivamente riscriverei $dE$, $dt$, $dp_i$, $u_i$ in termini delle trasformazioni che ho sopra indicato, ma non so se effettivamente troverei le trasformazioni di $E_i$ e $B_i$.
Voi che dite?