Trasformazioni del campo elettromagnetico da trasformazioni su coordinate e momenti

[Frostman]

Buongiorno, avrei bisogno di una mano con questo esercizio:

In un sistema di riferimento inerziale $S'$ e data una particella di massa m e carica q che si muove con velocità $\overline u$ in una campo elettrico $\overline E$ e in un campo magnetico $\overline B$. Sappiamo che le equazioni della dinamica relativistica che descrivono il moto del quadrimomento $p^\mu = (E, \overline p)$ sono le seguenti:
$$\frac {dE}{dt} = q\overline u \cdot \overline E \\ \frac {d\overline p}{dt} = q(\overline E + \overline u \times \overline B) \\$$In base ad uno dei principi della relatività speciale di Einstein, la forma delle equazioni che descrivono una legge fisica deve rimanere invariata in tutti i sistemi di riferimento inerziale. Questo vuol dire che, in un sistema di riferimento inerziale $S'$ in moto con velocità $v$ lungo l’asse delle x, devono valere le stesse equazioni precedenti, ma con tutte le grandezze primate.
Alla luce di ciò, ricavare la legge di trasformazione dei campi elettrici e magnetici, nel passare da $S$ ad $S'$, sapendo solo le leggi di trasformazioni delle coordinate e dei momenti tra i due sistemi inerziali.

Sfruttando le relazioni sopra io conosco come si trasformano le seguenti quantità:
Coordinate:
$$
t' = \gamma (t-vx)\\
x' = \gamma(x-vt)\\
y' = y\\
z' = z
$$
Quadrimomento:
$$
E' = \gamma(E-vp_x)\\
p_x' = \gamma(p_x - vE)\\
p_y' = p_y\\
p_z' = p_z
$$
Velocità:
$$
u_x' = \frac{u_x-v}{1-vu_x}\\
u_y' = \frac{u_y}{\gamma(1-vu_x)}\\
u_z' = \frac{u_z}{\gamma(1-vu_x)}\\
$$
Io partirei con l'analizzare componente per componente:
$$
\frac{dE}{dt} = qu_iE_i\\
\frac{dp_i}{dt} = q(E_i + \varepsilon_{ijk}u_jB_k)\\
$$
E successivamente riscriverei $dE$, $dt$, $dp_i$, $u_i$ in termini delle trasformazioni che ho sopra indicato, ma non so se effettivamente troverei le trasformazioni di $E_i$ e $B_i$.
Voi che dite?

[Lampo1089]

Direi buona fiera delle derivate
A parte gli scherzi, mi sembra un modo corretto di procedere! (non ho però controllato le leggi di trasformazione che hai scritto)

[Frostman]

Direi buona fiera delle derivate
A parte gli scherzi, mi sembra un modo corretto di procedere! (non ho però controllato le leggi di trasformazione che hai scritto)

Trattandosi di un esercizio su 4 di un esame da 3 ore, è possibile che sia questo l'unico modus operandi?

[Lampo1089]

Trattandosi di un esercizio su 4 di un esame da 3 ore, è possibile che sia questo l'unico modus operandi?

Più velocemente, potresti risolvere dimostrando che l'invarianza delle equazioni del moto impone che le componenti del campo elettromagnetico costituiscano il tensore $F^{\mu\nu}$.

A questo punto, avendo dimostrato questo, puoi sfruttare la legge di trasformazione di un tensore:

$$F^{\mu\nu} \rightarrow \Lambda^{\mu}_\rho \Lambda^{\nu}_\sigma F^{\rho\sigma}$$

[Frostman]

Non ti seguo...
Cioè io posso solo le leggi di trasformazione delle coordinate e dei momenti tra i due SRI.
Quello che mi stai dicendo è che se applicassi queste trasformazioni alle equazioni della dinamica relativistica che descrivono il moto del quadrimomento mi daranno una condizione per cui costruisco il tensore $F^{\mu\nu}$.
E poi applicando la trasformazione di Lorentz su $F^{\mu\nu}$ mi ricavo le relazioni tra campi elettrici e magnetici.

Sul secondo punto ci sono, ma non riesco a trovare come dalle equazioni del moto posso arrivare a costruire il tensore elettromagnetico.

Io quella equazione dinamica posso scriverla sotto un'unica equazione:

$$\frac{dp^\alpha}{dt}=\frac{1}{\gamma} qF^{\alpha\beta}u_\beta$$

Ma non riesco a comprendere come si possa costruire $F^{\mu\nu}$

[Lampo1089]

Quello che mi stai dicendo è che se applicassi queste trasformazioni alle equazioni della dinamica relativistica che descrivono il moto del quadrimomento mi daranno una condizione per cui costruisco il tensore Fμν.
E poi applicando la trasformazione di Lorentz su Fμν mi ricavo le relazioni tra campi elettrici e magnetici

Sì esatto intendo proprio questo.
Per prima cosa devi esprimere il membro di sx come un 4-vettore. Di conseguenza, anche il membro di dx deve essere un 4-vettore.

Per es. per la prima componente (scelgo ovviamente quella più facile), indicando con $\tau$ il tempo proprio (indici romani ripetuti implicano una somma sulle coordinate spaziali, indici greci la somma su tutte le componenti)

$$
\frac{d p^0}{d\tau} = q \gamma E_i v_i = q F^{0\sigma} u_{\sigma}
$$

dove $$F^{0\sigma} = (0,-E_x,-E_y, -E_z)$$ e $u$ è la 4-velocità e il segno meno davanti alle componenti del campo elettrico deriva dalla metrica di Minkowski = (1,-1,-1,-1).

In maniera simile ti costruisci le altre componenti del "tensore".
Come ti dicevo, questa prima parte è semplicemente propedeutica al conto vero e proprio che consiste nella trasformazione del tensore EM via trasformazioni di Lorentz - in soldoni è un prodotto di 3 matrici

[Lampo1089]

Ho corretto tensore -> "tensore" perché una volta trovate le componenti di $F^{\mu\nu}$ va dimostrato che queste 16 componenti si trasformano come un tensore.

Ma questo lo si verifica immediatamente dal fatto che $p^{\mu}$ è un 4-vettore e $u^{mu}$ è un 4-vettore

[Frostman]

Dopo un po' di conti credo di esserci. Faccio un riassunto in maniera tale da poter avere più chiaro poi cosa scrivere nel testo.

Le equazioni che descrivono la dinamica date dal testo possono essere scritte in un'unica equazione:
$$\frac{dp^\alpha}{d\tau} = qF^{\alpha\beta}u_\beta$$Dove:
$$p^\alpha=(m\gamma, m\gamma\overline u)\\
u_\beta = (\gamma, -\gamma \overline u)$$ A questo punto analizziamo componente per componente:
$$\frac{dp^0}{d\tau}=qF^{0\beta}u_\beta=q\gamma E_i u_i$$ Questo implica che $F^{0\beta}$ sia definito nel seguente modo:
$$F^{0\beta}=(0, -E_x, -E_y, -E_z)$$ Il segno negativo non ci preoccupa perché poi sarà moltiplicato per $u_\beta$ che è un quadrireattore covariante.
Procediamo con le altre componenti.
$$\frac{dp^i}{d\tau}=qF^{i\beta}u_\beta=q\gamma(E_i+ \varepsilon_{ijk} u_jB_k)$$
Prendo $i=1$:
$$q(F^{10}u_0+F^{11}u_1+F^{12}u_2+F^{13}u_3)=q\gamma(E_x-B_zu_y+B_yu_z)$$:
A questo punto possiamo identificare le varie componenti di $F^{1\beta}=(E_x, 0, -B_z, B_y)$
Analogamente per le altre componenti:
$i=2$:
$$q(F^{20}u_0+F^{21}u_1+F^{22}u_2+F^{23}u_3)=q\gamma(E_y-B_xu_z+B_zu_x)$$
$F^{2\beta}=(E_y, B_z, 0 -B_x)$
$i=3$:
$$q(F^{30}u_0+F^{31}u_1+F^{32}u_2+F^{33}u_3)=q\gamma(E_z-B_yu_x+B_xu_y)$$
$F^{3\beta}=(E_z, -B_y, B_x, 0)$A questo punto $F^{0\beta}$, $F^{1\beta}$, $F^{2\beta}$, $F^{3\beta}$ non sono nient'altro che i vettori riga del tensore elettromagnetico $F^{\alpha\beta}$:
$$
F^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
E_x & 0 & -B_z & B_y \\
E_y & B_z & 0 & -B_x \\
E_z & -B_y & B_x & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
Come hai detto tu si tratta di un tensore in quanto sia $p^\mu$ e $u^\mu$ sono dei quadrivettori. Trattandosi di un tensore sappiamo come si trasforma:
$$F'^{\mu\nu} = \Lambda^{\mu}_\alpha \Lambda^{\nu}_\beta F^{\alpha\beta}$$
A questo punto, anziché procedere come nella dimostrazione seguita a lezione, ossia ricordare che $F^{\mu\nu}=\partial^\muA^\nu -\partial^\nuA^\mu$
E successivamente identificare il tutto come un tensore definito come $G^{\mu\nu}=a^\mu b^\nu - a^\nu b^\mu$ e applicando le trasformazioni di Lorentz per poi identificare le varie componenti, non posso procedere in maniera differente? Mi sembra troppo prolissa la questione.
Ho trovato su internet dove fanno un calcolo matriciale diretto sfruttando una relazione simile $F' = \Lambda^{-1}F\Lambda=\Lambda F \Lambda$ e si risolve in poche righe di calcolo matriciale trovando effettivamente le componenti dei campi elettrici e magnetici trasformati.
Suppongo sia un caso simile quando lavoro con il tensore metrico e ricavo il gruppo di Lorentz, in cui: $$g_{\gamma\delta}=g_{\alpha\beta}\Lambda^{\alpha}_\gamma \Lambda^{\beta}_\delta \\
g_{\gamma\delta}=\Lambda^{\alpha}_\gamma g_{\alpha\beta} \Lambda^{\beta}_\delta \\
g_{\gamma\delta}=(\Lambda^{\gamma}_\alpha)^t g_{\alpha\beta} \Lambda^{\beta}_\delta \\
g = \Lambda^t g \Lambda$$
Corretto?

[Lampo1089]

Ho trovato su internet dove fanno un calcolo matriciale diretto sfruttando una relazione simile $F' = \Lambda^{-1}F\Lambda=\Lambda F \Lambda$ e si risolve in poche righe di calcolo matriciale trovando effettivamente le componenti dei campi elettrici e magnetici trasformati.

Sì direi che è lo stesso metodo che ipotizzavo prima:

$F' = \Lambda F \Lambda^t$ con $\Lambda$ la rappresentazione matriciale della trasformazione di Lorentz.

In realtà non ho ben compreso il metodo che proponevi inizialmente, cioé utilizzare la definizione del tensore EM in termini di 4potenziale. Cosa intendi di preciso?

Alla fine, hai già dimostrato che $F^{\mu\nu}$ è un tensore e quali sono le sue componenti in termini di componenti di campi elettrici e magnetici e quindi il secondo metodo mi sembra il più diretto oltre che più naturale.

[Shackle]

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8428712

Il tensore del campo em , detto anche tensore di Faraday, è un tensore antisimmetrico del 2 ordine, in forma covariante o contro- (si passa da una all’altra col tensore metrico come sai), che si definisce con le componenti dei vettori campo elettrico e campo magnetico. Note queste in un rif. in. , si passa a quelle in un altro r.i. mediante la legge di trasformazione di un tensore doppio, come hai scritto .Sopra ti ho riportato un link , ma ne trovi altri usando la funzione “cerca “ e digitando tensore elettromagnetico, come ho fatto io.
Qui per esempio ci sono altri post, guarda i link e soprattutto guarda i capitoli di Feynman citati alla fine:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8479895

In questa discussione avevo messo all’inizio dei link a dispense che possono esserti utili. Ciao