(pagina 845, (8))
Bertsimas afferma che è possibile ricorrere all'ottimizzazione robusta per individuare quel portafoglio di replica che minimizzi l’errore $\epsilon$ di replicazione rispetto al payoff maturato dal derivato nel suo istante di esercizio. O per meglio dire, quel portafoglio di replica il cui payoff sia tale da minimizzare il differenziale
$|P(\tilde{S},K)-W_T|=\epsilon$...
dove
- $P(\tilde(S),K)$ è il payoff del derivato all'istante di esercizio;
- $W_T$ è il payoff del portafoglio di replica nel medesimo istante;
- $\tilde{S}$ il prezzo del sottostante il derivato con la tilde ad enfatizzare la sua aleatorietà;
- $K$ lo strike;
- $W_T$ è il payoff del portafoglio di replica nel medesimo istante;
- $\tilde{S}$ il prezzo del sottostante il derivato con la tilde ad enfatizzare la sua aleatorietà;
- $K$ lo strike;
...nel peggior scenario possibile (da cui l'uso dell'OR) e a fronte di ogni possibile realizzazione dei rendimenti dell'underlying contenuta nel prefissato insieme di incertezza $U$.
Insieme di incertezza che, per una controparte robusta di forma lineare come la (8), avrà per forza di cose forma poliedrale. Bene.
DUBBIO N. 1) - Per modellare l'insieme di incertezza, Bertsimas ipotizza che sia valido il Teorema del Limite Centrale. Tale assunzione si basa a sua volta sulla possibilità di estrarre la serie storica dei prezzi del sottostante, che suppone per semplicità a frequenza discreta. Ora, è noto come i prezzi siano descritti da una random walk, per cui la non stazionarietà né in media né in varianza del processo preclude qualunque possibilità di forecasting. Si ricorre perciò ad una serie che sia legata a quella dei prezzi e che sia però, a differenza della sua primitiva, dotata di proprietà statistiche migliori, cioè la serie dei rendimenti logaritmici (che infatti manifesta assenza di autocorrelazione).
Da qui si spiega l'uso dei rendimenti logaritmici (e aleatori) del sottostante $\tilde{r}_t^S$ che l'autore usa in (8): se indichiamo con $\tilde{r}_t^S=\frac{\tilde{S}_{t+1}-S_t}{S_t}$ i rendimenti aritmetici e con $log\frac{\tilde{S}_{t+1}}{S_t}$ quelli logaritmici, si ha che questi ultimi sono anche esprimibili come $log(1+\tilde{r}_t^S)$.
Allora, per l'indipendenza e l'identica distribuzione dei rendimenti logaritmici dovuta all'assenza di autocorrelazione, egli suppone che $X_i=log(1+\tilde{r}_t^S)$. Suppone poi di stimare, grazie ai dati storici, la media e la deviazione standard della distribuzione che chiama $\mu_{log}$ e $\sigma_{log}$. Allora:
$\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ diventa $\frac{\frac{1}{t}\sum_{i=1}^{t-1}log(1+\tilde{r}_t^S)-\mu_{log}}{\sigma_{log}\sqrt{t}} \rightarrow N(0,1)$ per $t\rightarrow \infty$.
Successivamente chiama i rendimenti cumulati $\tilde{R}_t^S:=\prod_{i=1}^{t-1}log(1+\tilde{r}_t^S)$, per cui applicando le proprietà del logaritmo
$\frac{\frac{1}{t}log\tilde{R}_t^S-\mu_{log}}{\sigma_{log}\sqrt{t}} \rightarrow N(0,1)$
Pertanto, supponendo che l'insieme di incertezza sia per il TLC di forma (1) pagina 844, si ottiene la (4) della stessa pagina:
$|\frac{\frac{1}{t}log\tilde{R}_t^S-\mu_{log}}{\sigma_{log}\sqrt{t}}|<=\Gamma$
Ora la domanda è: perchè secondo voi l'uso del modulo nell'insieme di incertezza nella (1)? L'autore dice soltanto (cito da pag. 843, paragrafo 4) che "We use the $l_1$-norm to measure the error in replication instead of the $l_2$-norm. This choice of the norm when combined with polyhedral uncertainty sets results in robust linear optimization problems that can be used to price options.". Cosa si intende per norma di $l$? Qual'è la differenza tra $l_1$ ed $l_2$? Non capisco perché usarla.
DUBBIO N. 2) - L'autore dice che, una volta trovato con l'OR il valore di $W_T$, il suo sconto all'istante corrente sarà in finale il prezzo del derivato. Cito da pag. 845, paragrafi 1-2: "The price of the option would thus be the initial value of this replicating portfolio. [...] After finding the portfolio, the price of the option would then be given by $x_0^S+x_0^B$, which is the value of the portfolio at time $t=0$." (con $x_0^S$ il denaro investito nello stock e $x_0^B$ il denaro investito nel bond, in linea con la normale teoria della replicazione). Ma per questa stessa teoria io so che il valore attuale di un portafoglio di replica coincide con il suo valore corrente a meno del prezzo di arbitraggio del derivato. Esempio:
Per $r=12%$ il tasso privo di rischio (costante per ogni scadenza) e $T=3$ mesi, e supponendo che $S_T^+=22$ con probabilità $p$ ed $S_T^{-}=18$ con probabilità $1-p$, una Call Europea di strike $K=21$ e prezzo corrente $S_0=21$ ha un portafoglio di replica il cui valore attuale di $e^{0.12\cdot \frac{3}{12}}4.5$ (per $\Delta=0.25$ stock) coincide con il suo valore corrente di $20\cdot 0.25=5$ a meno del prezzo fair del derivato, ossia
$e^{0.12\cdot \frac{3}{12}}4.5=5.-c \Rightarrow c=0.633$.
Invece qua sembra come se per Bertsimas $c=e^{0.12\cdot \frac{3}{12}}4.5$. Magari mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma mi sfugge qualcosa.
Grazie a tutti per eventuali aiuti
