Carica di un condensatore, circuito RC

[massimino's]

Sono alle prese con lo studio dei circuiti in corrente alternata e ho letto l'argomento delle impedenze e sfasamenti.

C'è tuttavia una considerazione che mi porta fuori strada ed è la carica di un condensatore, il dubbio è nato provando a svolgere il seguente

ESERCIZIO:
Un circuito costituito da un condensatore (inizialmente scarico) di capacita C e da una resistenza R in serie viene collegato, al tempo t= 0, ad un generatore di f.e.m. alternata V(t) =V0cosωt. Trovare la carica sulle armature del condensatore in funzione del tempo.

Stupidamente ricordando lo studio dellaparte di elettromagnetismo avevo detto, beh ok che ci sono impedenze ecc però in tal caso avevo determinato:

[V_0=f.e.m]
$V_0-q/C-RI=0$ => $q(t)=V_0*C*(1-e^(-t/(RC)))$ (A) ho pensato in tal caso basta sostituire la f.e.m avendo già ricavato una soluzione di q in funzione del tempo.

Eppure non è così, infatti la soluzione sarebbe: $q(t) =(CV_0)/sqrt(1+(ωRC)^2)[cos(ωt−φ)−cosφe^(−t/RC)]$ in cui in effetti ci sono dei valori che escono dall induttanze.

Però non devo aver capito qualcosa perché quando ho ricavato al soluzione (A) in realtà ho svolto uno studio su un valore variabile nel tempo, non ho precisato che non possa essere sinusoidale. Perché invece non funziona in tal caso sostituire in A il valore di V0? C'è qualcosa che mi confonde e mi porta fuori strada ma non riesco bene a capire cosa.

Capito questo in realtà vorrei porre un'altra domanda... ma non mettiamo troppa carne al fuoco. Andiamo per gradi

[Quinzio]

Il punto e': come hai fatto per ricavare questa formula ?

$ q(t)=V_0*C*(1-e^(-t/(RC))) $
Che va bene solo nel caso che $V_0$ sia costante.

Se l'hai presa gia' fatta, allora non hai visto che andava bene solo in quel caso.
Se hai risolto l'equazione differenziale, allora hai sbagliato nel risolverla.

[massimino's]

Guarda lascia stare che sono un idiota, l'ho vista e risolta ma non l'ho rifatto sul momento e mi sono soffermato solo su Q(t). Ti ringrazio, hai perfettamente ragione, era ovvio ma dopo mille ore di esercizi mi incarto in stupidaggini.

Come dicevo il problema ora è che non capisco come convenga svolgere l'esercizio. La mia idea era stata questa (è sbagliatama come daregolamento porto la mia soluzione, sperando avrai voglia di leggere ancora ):

Ho pensato che usando l'impedenza dovrebbe valere:

$V_0cos(omegat)=I_0(R-i/(omegac))cos(omegat)$

A questo punto $I_0=V_0/(R-i/(omegac))$

Ed essendo $(dq)/(dt)=I=V_0/(R-i/(omegac))intcos(omegat)dt$

Però è un numero complesso e non sto a riportare tutto poiché mi allontano solo dalla soluzione.

Vorrei davvero tanto capire due cose: 1) perché questo mio metodo non funzioni e 2) come risolvere questo dannato esercizio correttamente penso possa aiutarmi a capire meglio.

[RenzoDF]

Non puoi usare l'impedenza, ovvero un operatore complesso, nel dominio del tempo, ma solo nel dominio della frequenza.

Se conosci l'impedenza suppongo tu conosca il metodo fasoriale per la soluzione dei circuiti in corrente alternata a regime; in questo caso, puoi usarlo per ottenere la tensione sul condensatore che, riportata nel dominio del tempo ti fornirà l'integrale particolare dell'equazione differenziale che, sommato all'integrale generale dell'omogenea associata ti fornirà la tensione $v_C(t)$ e di conseguenza la $q(t)$.

Usando fasori a valore massimo avrai che, applicando un semplice partitore di tensione

$ V_C=V_0 \frac{iX_C}{R+iX_C}$

Dalla quale avrai la soluzione a regime nel dominio del tempo

$v_C(t)=\abs (V_C)\ \cos(\omega t +\arg (V_C))$

[massimino's]

In realtà credo le mie conoscenze non siano così approfondite, è un corso di fisica di base non di elettrotecnica o applicato ai circuiti. Però vorrei capirci di più, perché purtroppo è una parte che non mi è molto chiara e spiegata velocemente dal Prof.

Non puoi usare l'impedenza, ovvero un operatore complesso, nel dominio del tempo, ma solo nel dominio della frequenza

Non credo di aver capito come sfruttare questa frase. COsa si intende in particolare per dominio di? Come lo riconosco? E' molto interessante. Da quanto ho capito le impedenze sono utili perché contengono gli sfasamenti tra I e V. Ma non vado molto oltre.

Se conosci l'impedenza suppongo tu conosca il metodo fasoriale per la soluzione dei circuiti in corrente alternata

Sì, mi sono stati mostrati i fasori e la soluzione con l'ausilio dei complessi ma utilizzato solo su un RLC, per poi prendere solo la parte reale della soluzine in I.

in questo caso, puoi usarlo per ottenere la tensione sul condensatore che, riportata nel dominio del tempo ti fornirà l'integrale particolare dell'equazione differenziale che, sommato all'integrale generale dell'omogenea associata ti fornirà la tensione vC(t) e di conseguenza la q(t)

Temo di non aver capito molto

partitore di tensione

OK, l'ho visto nel caso di corrente continua e ho capito che con le impedenze si sfrutta allo stesso modo.

[RenzoDF]

Non rispondo per ora a tutte le tue domande, facciamo un passo alla volta, ok?

... Sì, mi sono stati mostrati i fasori e la soluzione con l'ausilio dei complessi ma utilizzato solo su un RLC, per poi prendere solo la parte reale della soluzine in I. ...

Ok, allora prova a seguire quel metodo per determinare il fasore della corrente e poi, usando la legge di Ohm il fasore che rappresenta la tensione sul condensatore, o in alternativa prova ad applicare il partitore di tensione, poi andiamo avanti.

[massimino's]

Non rispondo per ora a tutte le tue domande, facciamo un passo alla volta, ok?

Sì, certo, grazie! Se non ti annoi nel rispondermi va benissimo

Ok, allora prova a seguire quel metodo per determinare il fasore della corrente e poi, usando la legge di Ohm il fasore che rappresenta la tensione sul condensatore, o in alternativa prova ad applicare il partitore di tensione, poi andiamo avanti.

OK, solo una domanda prima di iniziare. Il metodo che so è fare una ipotesi di soluzione complessa e sostituirla nell'equazione differenziale per ottenere i parametri dell'ipotesi di soluzione (che sarà una sol. particolare).
Sulla soluzione così ottenuta uso ohm.
C'è una via milgiore o va bene?

EDIT: (nel frattempo posto lo svolgimento)

Per $V_0-q/C-R(dq)/(dt)=0$ ipotizzo una soluzione particolare a regime del tipo $I=I_0e^(iomegat)$ non metto un termine $e^(-alphat)$ poiché non mi aspetto uno smorzamento (a regime appunto) dato che ho un generatore. La parte non a regimesarà imputata all'equazione omogenea -vide infra-).

Dunque ho la integro-differenziale: $V_0-(intIdt)/C-RI=0$

ma l'integrale è $-(iI_0)/(omega)e^(iomegat)$

Quindi: $1/cI_0i/omegae^(iomegat)-RI_0e^(iomegat)+V_0e^(iomegat)$

da cui: $I_0=V_0/(R-i/(omegac))$

Per quanto riguarda l'integrale generale della omogenea:

$q/c+R(dq)/(dt)=0$ svolgo il trick delle separabili (spero non passi qualche matematico) $int_0^q(dq)/(dt)=int_0^t-1/(RC)$

$q(t)=e^(-1/(RC)t)$ => derivo e $I(t)=-1/(RC)e^(-1/(RC)t)$

ora $V_c=Z_c(I_p+I_g)=V_0/(1-(Romegac/i))e^(iomegat)-i/(omegaRc^2)e^(-1/(RC)t)$

Uhm temo qualche pasticcio, però l'idea dovrebbe essere questa credo..
Dovrei prendere la parte reale per passare al dominio del tempo?

[RenzoDF]

...
da cui: $I_0=V_0/(R-i/(omegac))$ ...

Incredibile, vuoi forse dirmi che ogni volta dovete dimostrare che l'impedenza della serie fra un resistore e un condensatore è

$Z= R-j/(\omega C)$



Quando Steinmetz introdusse il metodo simbolico (ora fasoriale), lo fece per semplificare la risoluzione delle reti, non per renderla più complessa.
Di conseguenza, nel mondo reale, per determinare il fasore della corrente basta semplicemente Ohm, dividendo: fasore della tensione, e operatore complesso "impedenza".

$I_0=V_0/Z$

... Per quanto riguarda l'integrale generale della omogenea: ...

Anche per questa componente, ottenuto l'unico autovalore $\lambda=-1/(RC)$, bastava dire che la parte transitoria della soluzione (sia per la corrente che per la carica) è esprimibile nella forma

$i_g\ (t)=Ke^{\lambda t}$

Dovevi accorgertene per via dimensionale, visto che dimensionalmente $[q]\ne [e^x]$, in quanto l'esponenziale è adimensionale.

...

ora $V_c=Z_c(I_p+I_g)=V_0/(1-(Romegac/i))e^(iomegat)-i/(omegaRc^2)e^(-1/(RC)t)$ ...

Ecco, anche qui, vai erroneamente a sommare due diverse "forme" di corrente: fasoriale e temporale, e questo non va bene in quanto si riferiscono a due "mondi" diversi.

Per la corrente complessiva nel dominio del tempo, devi prima ricavare la parte reale della $I_p$, che ti fornirà una $i_p \ (t)$, e poi sommarla alla $i_g\ (t)$ ... andando a ottenere K dalla condizione iniziale sulla corrente $i(0)=|V_0|/R$.

[RenzoDF]

In campo fasoriale avrei risolto nel seguente modo: con un partitore (come già indicato in precedenza) mi sarei ricavato il fasore della tensione sul condensatore, da questo, passando al dominio del tempo, la tensione a regime sul condensatore $v_p\ (t)$, dalla equazione differenziale nella tensione, il solito autovalore e di conseguenza la componente transitoria $v_g\ (t)=Ke^{\lambda t}$, le avrei poi sommate per ottenere $v_C(t)$ e ricavato la costante K dalla "condizione iniziale" $v_C(0)=0$ ed infine $q(t)=Cv_C(t)$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per la parte a regime

$V_{C_M}=\abs(V_C)=\abs(V_0) \frac{1/(\omega C)}{\sqrt(R^2+(1/(\omega C))^2})=\abs(V_0)/\sqrt(1+\omega^2 R^2 C^2) $

$\varphi=\arg(V_C) =-\pi/2-\phi_Z$

$v_p\ (t)=V_{C_M}\cos(\omega t +\varphi)$

per la parte transitoria

$v_g\ (t)=Ke^{-t/(RC)}$

$v_C(t)=v_p\ (t)+v_g\ (t)=V_{C_M}\cos(\omega t +\varphi)+Ke^{-t/(RC)}$

nella quale, usando la condizione iniziale $v_C(0)=0$,

$K=-V_{C_M}\cos \varphi $

[massimino's]

Wow ho imparato moltissimo da queste due risposte, oltre la nota storica che non sapevo della persona (geniale) di "Steinmetz" (ho curiosato). Grazie mille !!!

Ho capito il secondo (cioè il tuo ultimo) messaggio e ho inteso cosa intendevi quando "ho unito due mondi", in effetti non mi ero soffermato a sufficienza.

Giusto per essere certi abbia capito:

Dvorei prendere

$V_c=Z_c(I_p+I_g)=V_0/(1-(Romegac/i))e^(iomegat)-i/(omegaRc^2)e^(-1/(RC)t)$

e sostituire al termine $V_0/(1-(Romegac/i))e^(iomegat)$ in relatà la parte reale. In tal modo otterrei il corretto $V_c$. Poiché ora sono nel dominio del tempo posso usare la capacità C: $q(t)=CV_C$
Mi imbrogliava 'sta cosa delleimpedenze perché tra le altre cose avrei usato $q(t)=Z_CV_C$ ERRATO!!, devo stare attento ai domini in cui mi trovo.

Spero sia corretta quest' ultima parte?

PS: ho altresì capito che ho sgobbato -ignorantemente- potendomi fare metà dei conti