Successioni estratte

[Inside_96]

Buon pomeriggio a tutti.

Desidero sottoporvi un quesito e la relativa risoluzione a cui ho pensato.

Sia $(a_n)_(n\in\mathbb{N})$ una successione numerica reale. Siano $(a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ e $(a_{n_h})_{h\in\mathbb{N}}$ due sottosuccessioni di $(a_n)_(n\in\mathbb{N})$ convergenti, rispettivamente, a $l_1\in\mathbb{R}$ e $l_2\in\mathbb{R}$ con $l_1\ne l_2$ e supponiamo che ${a_n}={a_{n_k}, k\in\mathbb{N}}\cup {a_{n_h}, h\in\mathbb{N}}$. Si può dedurre che $(a_n)_(n\in\mathbb{N})$ è limitata?

Ho pensato di ragionare come segue:
Poiché $(a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ converge al numero $l_1$, essa è limitata. Dunque esistono $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ tali che $c_1\leq a_{n_k}\leq c_2$ per ogni $k\in\mathbb{N}$.
Similmente, poiché $(a_{n_h})_{h\in\mathbb{N}}$ converge al numero $l_2$, essa è limitata. Dunque esistono $c_3,c_4\in\mathbb{R}$ tali che $c_3\leq a_{n_h}\leq c_4$ per ogni $h\in\mathbb{N}$.
Poiché ${a_n}={a_{n_k}, k\in\mathbb{N}}\cup {a_{n_h}, h\in\mathbb{N}}$, dalle disuguaglianze precedenti, si ottiene $\min{c_1,c_3}\leq a_n\leq \max{c_2,c_4}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e quindi $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ è limitata.

Secondo voi il ragionamento illustrato sopra può andare bene?

Grazie!

[gugo82]

L'unione di due insiemi limitati è limitata?

[Inside_96]

L'unione di due insiemi limitati è limitata?

Parli dell'unione ${a_n}={a_{n_k},k\in \mathbb{N}}∪{a_{n_h},h\in\mathbb{N}}$?
L'unione delle due estratte in questione fornisce la successione assegnata $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Quindi, essendo solo una unione finita, direi di poter rispondere "sì" alla tua domanda.

[gugo82]

In generale, puoi dimostrare (fallo) che l'unione di due limitati è limitata.
Nel tuo caso, le due sottosuccessioni sono limitate (perché convergenti), quindi la loro unione -che è tutta la successione originaria- è limitata.

[Inside_96]

In generale, puoi dimostrare (fallo) che l'unione di due limitati è limitata.
Nel tuo caso, le due sottosuccessioni sono limitate (perché convergenti), quindi la loro unione -che è tutta la successione originaria- è limitata.

Perfetto, grazie.
Dal punto di vista formale, la dimostrazione proposta pensi che possa andare bene?
Riguardo la dimostrazione del fatto che l'unione di due limitati è limitata, si può ragionare come fatto nella dimostrazione che ho presentato? Nel caso di $A,B\subseteq \mathbb{R}$, entrambi limitati, so per certo che $A$ ammette sia un minorante che un maggiorante; discorso analogo per B. Quindi prendendo il più piccolo dei minoranti individuati per $A$ e per $B$ e prendendo il più grande dei maggioranti individuati per $A$ e per $B$, avrei trovato un minorante e un maggiorante per $A\cup B$. Giusto?