Democrazia e matematica

[ulisse_45]

Ciao Gabriella127.
Ho molto apprezzato i tuoi nuovi suggerimenti che spero mi consentiranno di andare avanti nella individuazione di una formulazione non banale e comunque teoricamente condivisibile.
Ora, però, permettimi di esprimere un mio dubbio.
Nella formula Eff1=a0+a1⋅el+a2⋅can+a3⋅par
mi è tutto chiaro tranne il ruolo che svolge il primo coefficiente (a0).
Infine, probabilmente, c’è stata una piccola confusione tra i vari parametri, quando scrivi:
“Poiché però par dipende da el si può scrivere anche: par=b0+b1⋅el”
È esattamente il contrario, ovvero è el (capacità degli elettori di fare scelte consapevoli) che dipende dal livello di par (partecipazione attiva degli elettori) pertanto, (correggimi se sbaglio) la tua formulazione diverrebbe: el=b0+b1⋅par.
Detto ciò, devo confessarti che non mi è chiara questa ulteriore specificazione e, comunque, anche in questa formula mi sfugge il ruolo e il significato del primo coefficiente (b0).
Di nuovo grazie, per l’attenzione e l’impegno.

[gabriella127]

Scusa per la confusione nella formula, correggerò.

Quanto ai coefficienti $a_0$ e $b_0$ è un fatto formale, perché stiamo scrivendo una retta generica e ci metto l'intercetta. Sta solo a significare il valore della variabile a sinistra quando eventualmente i valori delle variabili a destra sono $0$. In genere si mettono, ma dal punto di vista teorico non significa molto.
Questi paramentri $a_0$ e $b_o$ possono benissimo essere posti uguale a zero, e eliminati, se si pensa che è meglio nel definire le relazioni. Metterli è solo un fatto per dare una formulazione generale.
Toglierli significa dire che se la variabile a destra è $0$, anche quella a sinistra è $0$. Quindi dipende dai casi, dalle idee che si hanno sul funzionamento delle variabili.

Questo per la teoria. Viceversa, se si volessero fare delle analisi empiriche, a partire da dati, ad esempio stimare le relazioni e quindi i vari coefficienti $a$ e $b$ a partire da dati, bisogna metterli per forza, perché a priori non possiamo sapere qual è la retta 'giusta'. Ma non è ora il tuo caso.

Per i tuoi scopi ora puoi fare come ti sembra meglio.

[ulisse_45]

E comunque ti ripeto che io non so niente di teoria politica, quindi posso dire grosse sciocchezze in merito.
Mi limito a fare delle osservazioni formali, un po' rifacendomi all'esperienza in economia.

In merito alla mia ricerca, che vorrebbe valutare (matematicamente) la bontà (o meno) della mia impostazione, vorrei tranquillizzarti e assicurarti che le tue limitate conoscenze sul funzionamento della politica sono ininfluenti. I tuoi dubbi sono legittimi ma credimi, puoi tranquillamente accantonarli. Infatti, se sei d’accordo, vorrei poter esplicitare la mia teoria (giusta o sbagliate che sia), evidenziando le relazioni che, a mio avviso, sussistono tra i vari parametri in ballo.
È su questa base, e su questi ragionamenti, che prego te (o chiunque altro) di esercitare la logica matematica e le proprie competenze per pervenire ad una prima formulazione matematica.

Penso che prima di individuare la formulazione finale che permetterebbe di valutare e confrontare l’efficienza (Eff) dei due sistemi (quello attuale e quello proposto da me) sia prima necessario esplicitare le relazioni logiche esistenti tra i diversi parametri.

La prima relazione da prendere in considerazione è quella esistente tra:
- la capacità degli elettori di fare scelte consapevoli (el) e il livello di partecipazione attiva degli elettori (par)
La logica e la teoria ci dicono che quanto più cresce ‘par’ tanto più cresce ‘el’.

1) el = f(par) ?

La capacità dei politici di perseguire obiettivi di benessere collettivo (pol) è influenzata da più relazioni tra diversi parametri.
La prima relazione è quella esistente tra ‘pol’ e ‘can’ ovvero:
quanto più cresce la selezione qualitativa dei candidati (can) tanto più cresce il valore di ‘pol’.

2) pol = f(can) ?

Vi è però una ulteriore relazione da evidenziare che determina il livello di ‘pol’.
È quella esercitata dalle pulsioni derivanti dalla natura umana (nat).
Pertanto, siamo in presenza di una influenza negativa di ‘nat’ che compromette il valore di ‘pol’.

3) pol = f(nat) ?

Affinché sia possibile ridimensionare l’influenza di ‘nat’, ho previsto sia la presenza di programmi (pro) declinati con obiettivi annuali, sia la possibilità di controllare il raggiungimento o meno degli obiettivi di periodo (ctr).

4) nat = ??? (pro, ctr) ???

L’ultima relazione elementare da considerare è quella esistente tra livello di astensionismo degli elettori (ast) e il livello di fiducia (fid) degli stessi elettori nei confronti dei politici e delle istituzioni. La teoria ci dice che il fenomeno dell’astensionismo (ast) è fortemente connesso al livello di fiducia (fid):

5) ast =f(fid) ?

È necessario considerare anche questa ultima relazione in quanto tanto minore è ‘ast’ tanto meglio funziona il sistema democratico. È opportuno sottolineare che sia ‘ast’ che ‘fid’ sono misurabili. Infatti ‘ast’ è un parametro assoluto che è possibile determinare ad ogni votazione, ‘fid’ è invece un parametro statistico monitorato da Istat.

Il sistema attuale è caratterizzato da un livello di ‘el’ e ‘pol’ relativamente modesti, e non ci sono strumenti o iniziative che permettano di ridimensionare l’influenza negativa di ‘nat’. Inoltre il livello di ‘ast’ è particolarmente alto (oltre 12 milioni di elettori) a causa del modesto livello di ‘fid’.

Con il sistema da me proposto, grazie a particolari strumenti e iniziative, si otterrebbe una sensibile crescita di ‘par’ che permetterebbe di ottenere un migliore livello di ‘el’. Poi, vi sarebbe una crescita di ‘pol’ che, a sua volta, deriverebbe da interventi che permetterebbero una crescita di ‘can’. Inoltre, con l’introduzione congiunta di ‘pro’ e di ‘ctr’ si ridimensionerebbe l’influsso negativo di ‘nat’.

Utilizzando i parametri e le relazioni precedentemente descritte, per valutare (teoricamente) l’efficienza tra i due sistemi dovrebbe essere formulato un modello:

6) ???

che dovrebbe permettere di avvalorare:

7) Eff2 > Eff1 !

Gabriella, penso di aver illustrato compiutamente il mio pensiero. Se qualche punto o qualche passaggio non è chiaro ti prego di farmelo sapere. Ti sono infinitamente grato per la tua disponibilità, ma non voglio che tu ti senta impegnata ad ogni costo.

[gabriella127]

Ho letto e ti rispondo a breve, appena ho un momento di calma.

[ulisse_45]

nessun problema! Ti auguro una buona serata.

[gabriella127]

Allora, la logica di quello che dici è chiara, e penso che il modello si può fare.
Un po' per volta ci arriviamo, vado per gradi perché non è facile ricordarsi tutte le variabili e le loro interrelazioni, e temo di fare confusione.

Aggiustiamo un po' per prima cosa le relazioni che hai scritto.
La prima osservazione è per ogni relazione va usata una funzione diversa, non sempre la $f$, perché le relazioni tra le variabili cambiano da caso a caso, cioè da equazione e equazione.
Seconda cosa, va formalizzato il fatto che le relazioni tra le variabili possono essere negative o positive.
Se usassimo funzioni lineari, si potrebbe fare mettendo coefficienti negativi o positivi a seconda della necessità.
Tu hai usato funzioni generiche, e continuiamo così, perché per ora non vedo motivo di usare una specifica forma lineare.

In questo caso bisogna usare le derivate delle funzioni, e fare ipotesi su queste.
Non so se dai tuoi studi ricordi le derivate, ma se no non ti preoccupare, dal punto di vista intuitivo è facilissimo.

Riscrivo tutte insieme le relazioni che hai scritto tu, modificandole un po', aggiungendo le ipotesi sulle derivate e riducendole a 4 invece che a 5.

$1) el=f(par)$ con $f'>0$.

$2)pol=g(can,nat)$ con $g_(can)>0$ e $g_(nat)<0$.

$3)nat= s(pro,crt)$ con $s_(pro)<0$ e $s_(crt)<0$.

$4)as=u(fid)$ con $u'<0$¹.

Le equazioni 2) e 3) tue le ho compattate in un'unica equazione con due variabili indipendenti.
Ho differenziato le lettere che indicano le funzioni varie.
Dopo le funzioni compaiono le derivate della variabile a sinistra nelle equazioni, rispetto alle variabili indipendenti.
Una derivata $>0$ vuol dire che la variabile dipendente aumenta all'aumentare della variabile indipendente, una derivata $<0$ che la variabile dipendente diminuisce all'aumentare della variabile indipendente.

Ora mi fermo qui per non fare pasticci, e aspetto prima tue osservazioni per andare avanti.
La mia idea è poi mettere tutto insieme in modo da far vedere che nel caso si inseriscano le variabili che indichi tu, $pro$ e $crt$, $Eff_2>Eff_1$. Mi pare si possa fare.

Voglio solo osservare che questa non sarebbe però in alcun modo una 'dimostrazione' matematica della tua teoria, poiché che $Eff_>Eff_1$ è una conseguenza diretta delle ipotesi teoriche che fai al di fuori del modello matematico.

E' tuttavia una formalizzazione del tuo modello che può essere utile, almeno credo, questo lo puoi sapere tu.

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Note

1. scrivo as invece di ast se no il compilatore mi mette un asterisco al post di ast ↑

[ulisse_45]

Mi è tutto chiaro! I tuoi ragionamenti li ho compresi e li condivido.
Permettimi qualche osservazione:
- Come mai le derivate delle funzioni g e s non hanno l’apice?
- nella 4 (f id) dovrebbe essere (fid).

Per quanto riguarda i risultati Eff1 e Eff2, ritengo che debbano scaturire da un unico modello in cui alcuni parametri abbiano valori diversi (maggiori o minori).

In merito alla tua osservazione finale, mi pare di capire che, a tuo avviso, saremmo in presenza di un mio ragionamento e di una conseguente impostazione tautologica. Anche io mi sono posto questo quesito ma per il momento, se sei d’accordo, mi concentrerei sullo sviluppo del modello matematico su cui tu stai lavorando.
Ti confesso che sono desideroso di vedere come si evolve il tutto.

[gabriella127]

Non penso che si tratti di una tautologia, è solo l'esposizione matematica di un modello, in cui si fanno ipotesi in base a considerazioni non matematiche, ma è sempre così.
Hai costruito due indici $Eff1$ e $Eff2$ che dipendono da alcune variabili, e il loro livello dipende immediatamente dalle ipotesi su queste variabili.
Ecco, non vedo un procedimento matematico più lungo che si possa chiamare 'dimostrazione' a partire da certe ipotesi, ma questo non toglie niente. E comunque poi vediamo.

Per quanto riguarda i risultati Eff1 e Eff2, ritengo che debbano scaturire da un unico modello in cui alcuni parametri abbiano valori diversi (maggiori o minori).
.

Sono d'accordo, pensavo di fare così.

- Come mai le derivate delle funzioni g e s non hanno l’apice?
- nella 4 (f id) dovrebbe essere (fid).

Le derivate di $g$ e $s$ non hanno apice, perché questa è la consuetudine quando si tratta di funzioni di più variabili.
Una notazione consueta è mettere l'apice se si tratta di una funzione di una sola variabile, non metterlo se si tratta di funzioni di più variabili, dove invece si indica in pedice la variabile rispetto alla quale si sta derivando.

Per quanto riguarda $ f$ id è il compilatore delle formule che lo scrive male, ma non volevo cambiare il nome a un'altra variabile, e preferisco scrivere le formule in blu perché così le vedo meglio, altrimenti mi si confonde di più la vista.

Appena ho tempo vado avanti. E' che devo riscrivermi il tutto con carta e penna, è difficile farlo sullo schermo perché quando vedi i post precedenti li vedi a piccoli pezzi e ci si confonde.

[ulisse_45]

Grazie per le delucidazioni!
Se in qualche modo posso aiutarti sono a tua disposizione.

[gabriella127]

Eccomi, meglio tardi che mai, scusa il ritardo, ma sono stati giorni, come ti ho detto, in cui mi era impossibile concentrarmi.

Comunque, continuando, sarei pervenuto a questa formulazione:

per l’attuale sistema: Eff1 = f(el, can, par)

Con il nuovo sistema, a seguito della nuova impostazione, avremmo:

Eff2 = f(el’, can’, par’, pro, ctr)

Dove: el’ > el; can’ > can; par’ > par.

Siccome, dalle suddette relazioni emerge che con l’inserimento di pro e di ctr l’influsso negativo di nat è ridimensionato, e siccome come conseguenza di ciò pol aumenta, ne conseguirebbe che, teoricamente,
Eff2 > Eff1.
.

Allora, come anche tu suggerivi, farei un unico modello, ossia non farei due indicatori distinti $Eff1$ o $Eff2$, ma un unico indicatore di efficienza che assume valori diversi a seconda del valore dei parametri che vi compaiono, i quali a loro volta sono governati dalle equazioni scritte sopra che ora riporto sotto:


$1) el=f(par)$ con $f'>0$.

$2)pol=g(can,nat)$ con $g_(can)>0$ e $g_(nat)<0$.

$3)nat= s(pro,crt)$ con $s_(pro)<0$ e $s_(crt)<0$.

$4)as=u(fid)$ con $u'<0$¹.

Quindi scrivo un unico indice, che chiamo semplicemente $Eff$, ricalcando quello che hai scritto tu sopra:

$Eff= k(el, can, par, pro, crt)$.

$Eff$ restituisce i valori di $Eff1$ e $Eff2$ precedenti a seconda dei valori delle variabili indipendenti. $k$ è semplicemente una altra funzione.

Ricordo che $pro$ e $crt$ indicano la presenza di programmi e controlli sugli stessi, quindi mi sembra che si debbno considerare variabili che assumono solo due valori, c'è o non c'è, ad esempio facendoli valere $0$ (non c'è) e $1$ (c'è).

Anche qui dobbiamo specificare come cambia $Eff$ a seconda del valore che assumono le variabili indipendenti, cioè dovremmo specificare altre derivate.
A questo punto però proporrei, invece di imbarcarci in un quintale di derivate, che possono confonderci, di dare all'indice $Eff$ una forma specifica, direi lineare, che ha anche il vantaggio di poter quantificare, in base ai coefficienti delle variabili, il 'peso' di ogni variabile.
Inoltre, un indice è qualcosa che potenzialmente uno vorrebbe misurare, quindi ha senso dare una forma specifica.
Insomma, una forma di funzione generica qui mi sembra poco adatta.
Dimmi la tua opinione su questo.

Ora però, guardando le equazioni scritte sopra, vedo che in $Eff$ compaiono solo $el, can, par, pro, crt$. E dove stanno altre variabili che compaiono nelle $1)-4)$? Ad esempio $pol$ e $nat$?

La difficoltà in questo modello sta nel non incasinarsi tra tutte queste variabili .

Quindi ora mi fermo qui e domani devo rileggere il tutto, anche tutti i post precedenti per rimettere un po' di ordine.

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Note

1. Ricordo che scrivo as invece di ast se no il compilatore mi mette un asterisco al post di ast ↑