Valore estrinseco di una opzione

[nuandabi]

Ho una domanda/richiesta di conferma sul modello di Black and Scholes, in particolare sul valore estrinseco.

Il valore estrinseco ed il suo rapporto col valore intrinseco viene rappresentato graficamente sempre con l'immagine di seguito:



la domanda è:
viste tutte le premesse su cui si basa il modello, la rappresentazione corretta dovrebbe essere con una lognormale al posto della gaussiana?

Grazie a chi potrà rispondere

[nuandabi]

riporto calcolo fatto non da me

[gabriella127]

Ciao nuandabi, e benvenuto nel Forum.

Vedo che qui non hai risposte.
Se vuoi, posso spostare questo messaggio in Statistica e Probabilità, lì c'è più via vai di probabilisti.
Ho visto che ne hai già postato lì alcuni, ma possiamo provare anche con questo.
Giusto a intuito, non sono esperta di queste cose, vedo dal grafico sopra che il Valore Estrinseco ha una distribuzione asimmetrica, quindi dovrebbe essere più adatta una lognormale.

[Lampo1089]

Non confonderei il fatto che la distribuzione di probabilità dell'asset sottostante sia lognormale con il fatto che l'estrinseco abbia la stessa dipendenza funzionale.

Banalmente, definisci l'estrinseco come quella funzione che sommata al valore intrinseco ti dà il prezzo dell'opzione. Quindi, come dice l'immagine:
\[
V(S,t;K,r,\sigma) = (S-K)_+ +EV(S,t;K,r,\sigma)
\]

essendo nota in forma chiusa il prezzo di una opzione europea in BS, ti ricavi in forma chiusa anche l'estrinseco. Non mi torna tuttavia la tua derivazione: perché sconti lo strike nel termine intrinseco?

ps: fra l'altro l'estrinseco non può essere una funzione derivabile - e pertanto non può essere una lognormale - perché altrimenti, data la formula sopra, il prezzo della opzione non sarebbe derivabile in K. Tuttavia, sappiamo che la formula di BS è una funzione derivabile rispetto a S, da cui un assurdo

[nuandabi]

Non confonderei il fatto che la distribuzione di probabilità dell'asset sottostante sia lognormale con il fatto che l'estrinseco abbia la stessa dipendenza funzionale.

Banalmente, definisci l'estrinseco come quella funzione che sommata al valore intrinseco ti dà il prezzo dell'opzione. Quindi, come dice l'immagine:
\[
V(S,t;K,r,\sigma) = (S-K)_+ +EV(S,t;K,r,\sigma)
\]

essendo nota in forma chiusa il prezzo di una opzione europea in BS, ti ricavi in forma chiusa anche l'estrinseco. Non mi torna tuttavia la tua derivazione: perché sconti lo strike nel termine intrinseco?

ps: fra l'altro l'estrinseco non può essere una funzione derivabile - e pertanto non può essere una lognormale - perché altrimenti, data la formula sopra, il prezzo della opzione non sarebbe derivabile in K. Tuttavia, sappiamo che la formula di BS è una funzione derivabile rispetto a S, da cui un assurdo

Scusami. Vedo solo ora che mi avevi risposto. Non mi sono arrivate notifiche per mail nonostante le avessi attivate.
Nel frattempo sono andato avanti con lo studio.
Riguardo il valore estrinseco ho utilizzato l'applicazione di desmos e ho tirato fuori quello che allego. Si possono modificare i parametri per vedere quello che succede aumentando e diminuendo volatilità tempo a scadenza e strike
https://www.desmos.com/calculator/ufsbadqdhs?lang=it
Anche se è la mia pagina dovrebbe essere visibile a tutti. Se si apre il menu ci sono anche le greche di primo e secondo ordine.
Riguardo N(d2) nell'altro post avevo scritto inesattezze, a mia parziale scusante c'è da dire che la maggior parte di chi si occupa di opzioni proprio nei fondi di investimento fa pure di peggio (ad esempio considerano il delta come la probabilità ITM a scadenza ).
Ho una pagine online dove scrivo di volta in volta quello che riesco a capire e mano mano sto cercando di "aggiustare".
Qui sulla neutralità al rischio https://medium.com/@gberardi78/parte-11 ... c78ca84d53
Qui la parte sul delta dell'altro post in cui mi ero dato successivamente delle risposte
https://medium.com/@gberardi78/parte-12 ... 0ec60ffb86
Qui delle considerazioni su valore intrinseco ed estrinseco osservando i grafici su desmos.
https://medium.com/@gberardi78/parte-14 ... e4fda992f8


Sono comunque un autodidatta che parte dalle conoscenze scarse del liceo e ancor piu scarse della statistica base che si fa a economia e commercio. Andando avanti rivedo e cerco di correggere le fesserie che scrivo se ci arrivo, infatti anche rileggendo le domande che ho fatto sul forum mi sono messo nei panni degli altri utenti e mancavano di chiarezza.
Ti ringrazio di nuovo per le tue risposte

[Lampo1089]

Riguardo N(d2) nell'altro post avevo scritto inesattezze, a mia parziale scusante c'è da dire che la maggior parte di chi si occupa di opzioni proprio nei fondi di investimento fa pure di peggio (ad esempio considerano il delta come la probabilità ITM a scadenza )

Purtroppo su questo tema hai perfettamente ragione, in giro ci sono molte informazioni farlocche (e, addirittura, anche papers scritti da eccellenti practitioners - quant in grosse banche - hanno a volte grosse lacune formali anche se, ovviamente, poi giungono a risultati corretti).

Mi sento di consigliarti allora una ottima referenza al tuo livello, e per approfondire meglio, se ti interessa: la serie di Paul Wilmott "Paul Wilmott on Quantitative Finance" (ovviamente in inglese, ignoro l'esistenza di una traduzione italiana). Tratta tanti argomenti, ovviamente per approfondire temi particolari ci sono referenze/articoli più specifici ma è ottimo secondo me per capire i temi fondamentali e le loro applicazioni con un crescente livello di difficoltà.
Se il tema ti appassiona, sono sicuro che lo troverai estremamente interessante.

[nuandabi]

Riguardo N(d2) nell'altro post avevo scritto inesattezze, a mia parziale scusante c'è da dire che la maggior parte di chi si occupa di opzioni proprio nei fondi di investimento fa pure di peggio (ad esempio considerano il delta come la probabilità ITM a scadenza )

Purtroppo su questo tema hai perfettamente ragione, in giro ci sono molte informazioni farlocche (e, addirittura, anche papers scritti da eccellenti practitioners - quant in grosse banche - hanno a volte grosse lacune formali anche se, ovviamente, poi giungono a risultati corretti).

Mi sento di consigliarti allora una ottima referenza al tuo livello, e per approfondire meglio, se ti interessa: la serie di Paul Wilmott "Paul Wilmott on Quantitative Finance" (ovviamente in inglese, ignoro l'esistenza di una traduzione italiana). Tratta tanti argomenti, ovviamente per approfondire temi particolari ci sono referenze/articoli più specifici ma è ottimo secondo me per capire i temi fondamentali e le loro applicazioni con un crescente livello di difficoltà.
Se il tema ti appassiona, sono sicuro che lo troverai estremamente interessante.

Grazie mille.
Sarà un caso ma è lo stesso libro che mi ha consigliato un po' di tempo fa una persona che ricopre un ruolo importante all'ESMA.
Io ero partito dall'Hull (edizione originale in inglese la decima) circa un anno fa poi piano piano ho ampliato.
Internet è la biblioteca di babele di borges versione free, se uno ha pazienza può davvero fare quello che lo scrittore aveva solo immaginato. Giusto come esempio su medium ci sono alcune perle (qui una https://volquant.medium.com/).


L'altro aspetto su cui è fondamentale puntare, e in Italia manca ed ora comincia a sentirsi anche nel mondo del lavoro, è la dimestichezza con i linguaggi di programmazione.
Python ad esempio potrebbe tranquillamente insegnarsi a scuola e al termine del ciclo delle superiori tutti avrebbero in mano uno strumento potentissimo da utilizzare in tutte le facoltà scientifiche e in parte di quelle che non lo sono (compresa economia).
Piano piano cercherò di cavarmela anche in questo, non a caso parlo di python per la sua semplicità. A questo riguardo internet è una biblioteca di babele al cubo (un esempio a tal proposito https://www.codingame.com/ide/puzzle/onboarding)

Grazie ancora per il tuo tempo

[Lampo1089]

L'altro aspetto su cui è fondamentale puntare, e in Italia manca ed ora comincia a sentirsi anche nel mondo del lavoro, è la dimestichezza con i linguaggi di programmazione.
Python ad esempio potrebbe tranquillamente insegnarsi a scuola e al termine del ciclo delle superiori tutti avrebbero in mano uno strumento potentissimo da utilizzare in tutte le facoltà scientifiche e in parte di quelle che non lo sono (compresa economia).

quoto, riquoto e straquoto quanto dici. Non ho idea di come sia evoluto l'insegnamento nelle scuole superiori negli ultimi 7 anni (in passato davo ripetizioni a studenti di varie scuole secondarie) ma ormai basi di programmazione su linguaggi moderni (per quanto possano essere didattici, meglio non considerare cose come FORTRAN,C,C++,Pascal e compagnia cantante) dovrebbero essere una materia di studio in tutti i percorsi tecnici scentifici (soprattutto liceo) come materia a sé (e non relegati a qualche ora durante eg l'insegnamento di matematica da parte di docenti preparati su altro).
Non parliamo poi del forte distacco tra scuola secondaria e industria, oltre quello tra industria e (molti) corsi universitari - qualche giorno fa leggendo a riguardo mi stavo mettendo le mani nei capelli ...

Se aspettiamo però che il mondo attorno a noi cambi, guardandolo con le mani in mano possiamo stare freschi, quindi non posso fare altro che complimentarmi per la tua passione e la dedizione che vedo dai tuoi riassunti. Bene così

Buono studio e in bocca al lupo per il tuo futuro