Strategie miste in teoria dei giochi

[LucaGua81]

Ciao a tutti,
ho un dubbio sulle strategie miste nella teoria dei giochi. Nei manuali si legge che in un gioco a strategie miste i giocatori sono indifferenti tra tutte le strategie pure possibili. Il concetto mi è poco chiaro in termini intuitivi. Perché in un contesto stocastico i giocatori non potrebbero avere comunque delle preferenze?
Grazie mille per il chiarimento!
Luca

[gabriella127]

Ciao LucaGua81!
Qui sul Forum abbiamo un esperto di teoria dei giochi, Fioravante Patrone, chi sa che non passi di qui!

Intanto puoi dare uno sguardo al suo Mini-Corso qui sopra nella pagine, si parla di anche strategie miste, può darsi che ti dia qualche indicazione rispetto al tuo problema.

[otta96]

Mi sembra strano che non ci possano essere preferenze, penso che ci possano essere, se per preferenze intendiamo che le percentuali di scegliere una strategia sono più alte di quelle di altre strategie.

[gabriella127]

Io non sono esperta di teoria dei giochi, ma riporto da uno testi più noti di riferimento, anche per la teoria dei giochi, Mas Colell, Green, Winston, Microeconomic Theory, le seguenti definizioni (paragrafo 7.E Randomized Choices, p. 231):

[...]there is no a priori reason to exclude the possibility that a player could randomize when faced with a choice[...]
a deterministic strategy for player $i$, which we now call pure strategy, specifies a deterministic choice $s_i(H)$ at each of her information set $H$. Suppose that player's $i$'s (finite) set of pure strategies is $S_i$. One way for the player to randomize is to choose randomly one element of this set. This kind of randomization gives rise to what is called a mixed strategy.

[b]Definition:[/b] Given player $i$'s (finite) pure strategy $S_i$ set, a mixed strategy for player $i$, $\sigma:S_i \rightarrow [0,1],$ assignsto ech pure stategy $s_i \in S_i$ a probability $\sigma(s_i) \geq 0$ that it will be played, where $\sum _{s_i \in S_i} \sigma_i=1$.

Suppose that player $i$ has $M$ pure strategies in set $S_i= \{s_{1i],..., s_{}Mi}\}$. Player's $i$ set of possible mixed strategies can therefore be associated with the points of the following simplex :

$\Delta(S_i)= \{(\sigma_{1i}, …, \sigma_{Mi}) \in \mathbb{R^M}: \sigma_{mi} \geq0 \forall m=1,…,M and \sum _1^M \sigma_{mi}=1}.$

This simplex is called the mixed extension of $S_i$.

[…] $i$’s’s payoff function $u(s)$ is of the von Neumann-Morgensten type, $i$ ‘s payoff […]
is her expected utility $E_{\sigma}[ u_i(s)]$[…].

Quindi ci sono le preferenze, sono nella funzione di utilità attesa (di von Neumann-Morgensten, nella teoria della utilità attesa), che determina il payoff in questi casi.


Per la verità non è che capisco nemmeno tantissimo perché i testi dicano "non ha preferenze", non capisco bene che intendano dire.

Inoltre, vedi questa citazione dal minicorso qui di Fioravante Patrone (Nel Cap. Strategie miste, pag. 1).

La cosa principale da osservare è che, introducendo le strategie miste, si effettua un percettibile spostamento di natura concettuale. I nostri giocatori, decisori come tutti gli altri, li immaginiamo dediti ad elucubrazioni varie per poter determinare quale sia la strategia da usare. Uno si aspetta che la scelta sia di natura deterministica. In effetti, se si escludono rari casi, spesso costituiti da situazioni in cui non sono coinvolti esiti di particolare rilievo per i decisori coinvolti, affidare la propria scelta al caso sembra un po' una rinuncia ad usare fino in fondo le proprie capacità intellettive.

Quando si parla di strategie mista, si intende dire che la deliberazione consapevole del giocatore riguarda l'assegnazione delle probabilità alle strategie che ha a disposizione (che so, gioco T con probabilità 1/3 e B con probabilità 2/3). Ma, poi, il giocatore si affida ad un opportuno meccanismo aleatorio per effettuare la scelta finale (ad esempio, lancia un dado e gioca T se viene 1 o 2, e B altrimenti).


Quindi, il processo decisionale soggettivo, è espresso nella scelta delle probabilità - è quello che dice otta96 nella risposta precedente- oltre che ovviamente nella funzione di utilità, dove entrano esplicitamente le preferenze.



Detto in altre parole, in sintesi, non mie ma di Roberto Lucchetti, un noto studioso di teoria dei giochi, nella Enciclopedia Treccani della Scienza

Ogni giocatore è dotato, nella singola partita, di un certo numero di strategie, dette pure. Scegliere una distribuzione di probabilità su queste strategie pure significa utilizzare una strategia mista. Le funzioni di utilità dei giocatori vengono aggiornate nel senso dell’utilità attesa.
(la funzione di utilità di von Neumann -Morgensten è appunto la funzione di utilità attesa, nella teoria dell'utilità attesa, è un valore atteso: . )
https://www.treccani.it/enciclopedia/st ... la-Tecnica)

C’è comunque un processo di massimizzazione, dove c’è una funzione obiettivo, la funzione di utilità. La teoria dei giochi, alla fine, è una ottimizzazione ‘a più mani’, dove ci sono più agenti ottimizzanti che interagiscono, quindi non capisco bene che vuol dire che non ci sono preferenze.

Insomma, non capisco la domanda fino in fondo, forse i testi intendono dire che non è che viene scelta una strategia preferita a priori, deterministicamente, come nel caso delle strategie pure, ma una distribuzione di probabilità.
Penso questo voglia dire che sono indifferenti alle strategie pure, non ne preferiscono una a priori.


Va inoltre tenuta presente un'altra cosa, se vogliamo essere più tecnici.
Io non so adesso che dicano i tuoi libri e a che livello siano, ma tieni presente che per preferenze in questi contesti si intende in genere qualcosa di piuttosto tecnico, una particolare relazione di pre-ordine, quindi bisogna stare attenti che il termine può non riferirsi alla generica idea di preferenza della lingua comune: meglio questo di quello, mi piace più questo che quello.
Quindi, l'assegnazione delle probabilità, se esprime comunque una scelta soggettiva, una valutazione delle singole strategie pure, non può tecnicamente chamarsi una preferenza.

E non c'è una relazione di preferenza sulle strategie pure, ma la funzione di utilità è una valore atteso sulle stategie miste.

[Fioravante Patrone]

...
Nei manuali si legge che in un gioco a strategie miste i giocatori sono indifferenti tra tutte le strategie pure possibili.
...

Ovviamente non c'è scritto (solo) questo. Altrimenti il consiglio banale è: "butta quei manuali".

Immagino che tu ti stia riferendo a un qualcosa di un po' diverso.
Cerco di spiegarmi con un semplice esempio relativo all'ottimizzazione.
Supponiamo di avere tre opzioni: A, B, C
E prendiamo una funzione di utilità u del decisore.
Supponiamo, senza ledere la generalità, che sia $u(A) \ge u(B) \ge u(C)$.
Se $u(A) > u(B)$, ovviamente il decisore sceglie A. E non si mette certo a randomizzare fra A e gli altri.
Se $u(A)=u(B)>u(C)$, allora sceglierà indifferentemente A o B. O anche, volendo, potrà randomizzare fra A e B*.

Quindi, un ottimizzatore ricorrerà a "strategie miste" che coinvolgono 2 (o più) scelte solo se è indifferente fra quelle 2 (o più) scelte.

Il discorso in TdG è un po' più complicato tecnicamente (e in TdG le strategie miste possono servire davvero), ma l'idea di base è in buona parte qui.


* Se poi $u(A)=u(B)=u(C)$, potrà far quello che vuole, vista la noia di una vita così piatta.