Minimizzazione funzione di costo

[Marco1005]

Salve,
è la prima volta che scrivo in questa sezione spero di non sbagliare
Si tratta di minimizzare una funzione di costo economica relativa al lotto economico d'acquisto.
il testo recita:
"A un'azienda occorrono 30.000 pezzi l'anno; il costo di magazzinaggio del prodotto è 3€ al pezzo, e quello di ordinazione è 72 €. Il costo della merce è:
$1,5€$ $x<=1000$
$1,30€$ $1000<x<=1500$
$1,00€$ $x>1500$

a questo punto imposto la minimizzazione della funzione di costo:
$=(30.000/x)*72+3*x/2$

calcolo la derivata prima

$y'=-2160000/x^2+3/2$

ne studio il segno e trovo che
$x=1200$ è un punto di minimo.
effettivamente sostituendo risulta che il costo di magazzinaggio e il costo per le ordinazioni è minimo in corrispondenza di 1200 pezzi ordinati per volta.
poi vado a calcolare il costo totale cioè:

$3600 + 30000*(1,30)=42600$

il testo però mi dice che la migliore quantità è 1500 perchè si ottiene il miglior costo totale sia come ordinazione sia come costo variabile di acquisto.
ma per quale diavolo di motivo?
capisco che il costo totale mi venga piu basso ma allora è inutile fare la derivata prima sulla funzione se tanto mi basta andare a tentoni con gli scaglioni di cambio di prezzo no?
Voi che ne pensate?
grazie mille in anticipo

[gabriella127]

Il problema che tu stai minimizzando, facendo la derivata, solo una parte dei costi, il costo di magazzinaggio e di ordinazione, mentre devi minimizzare il costo totale, cioè ti devi scrivere la funzione di costo totale, aggiungendo il costo di acquisto della merce.

Questo costo varia a seconda degli intervalli che hai scritto, la funzione di costo totale in questo caso è una funzione definita a tratti:


$C(x)$=\( \begin{cases} (30.000/x)*72+3*x/2+ 1,5 * 30.000 \; \qquad0<x\leq1000 \\ (30.000/x)*72+3*x/2+ 1,3 * 30.000 \; \qquad 1000<x\leq1500 \\ (30.000/x)*72+3*x/2+ 1,0 * 30.000 \; \;\quad \quad x >1500 \end{cases} \) .

Quindi non puoi fare tutto di un colpo con la derivata e stop, io troverei il minimo tratto per tratto, guardando anche gli estremi degli intervalli, per poi confrontarli.

Ho fatto un calcolo frettoloso, quindi posso avere sbagliato i calcoli, ma 1500 viene: la derivata nel primo tratto prima è negativa, poi si annulla e diviene positiva; è sempre positiva negli altri due.


Ricordo che tu fai lezione a un ragazzo, quindi credo che sia un esercizio per lui. Questo è in effetti un esercizio puramente matematico, di economico ha poco, caso mai economia aziendale, ma non è microeconomia. Quindi devi solo fargli capire le cose matematiche.

[Marco1005]

Grazie mille per la risposta, in effetti è programma di matematica ma riguarda problemi di scelta nel caso continuo quindi è un border line
Si comunque è un esercizio di un mio studente.
L'unica cosa che faccio fatica a capire però è questa:
se anche introduco il costo di acquisto, se anche facessi la derivata prima della funzione completa di costo di acquisto, comunque è un termine noto che scompare con la derivata prima.
Quindi mi darebbe sempre 1200 in tutti e tre i casi.

[gabriella127]

Ma non devi guardare solo i minimi interni con la derivata, devi guardare i bordi, gli estremi degli intervalli, perché cerchi un minimo globale che non è detto sia un minimo relativo interno, questo è vero in generale, se cerchi un minimo-massimo in un intervllo chiuso. Insomma, bisogna avere la pazienza di fare i vari casi.

Scusa se non faccio calcoli e posto formule, ma questi giorni ho problemi familiari e non posso stare più di tanto sul Forum.

[Marco1005]

Ma non devi guardare solo i minimi interni con la derivata, devi guardare i bordi, gli estremi degli intervalli, perché cerchi un minimo globale che non è detto sia un minimo relativo interno, questo è vero in generale, se cerchi un minimo-massimo in un intervllo chiuso. Insomma, bisogna avere la pazienza di fare i vari casi.

Scusa se non faccio calcoli e posto formule, ma questi giorni ho problemi familiari e non posso stare più di tanto sul Forum.

Figurati Gabriella ci mancherebbe altro.
Ho un libro di testo che fa la dimostrazione tranquilla, è che non avevo metabolizzato bene il concetto.
Alla fine controllo se il minimo interno (trovato con la derivata) fa al caso mio sostituendolo nelle varie funzioni a tratti (può essere si come può essere no).
Confronto anche gli estremi degli intervalli chiusi ed in modo molto "algebrico" vedo quello che costa meno
grazie mille

[gabriella127]

Figurati, mi fa piacere che hai risolto