Per veri esperti

[nochipfritz]

Salve a tutti,

dovrei capire il senso di questa frase che a mio parere non è molto corretta.
La frase, tratta da un paper, è :

"Now define $Q(Y) = f(Y) - g(Y)$. $Y$ here is an element of the field $F$ - a polynomial in X ! That's OK, though, since we can treat a polynomial like a number, raising it to powers, multiplying by costants, adding two together. So it makes sense to talk about an unknown that is a polynomial instead of (say) a complex number. It also makes sense to talk about the order of this polynomial, the largest exponent on $Y$. Just as n-th order polynomials over the complez numbers have at most $n$ roots, n-th order polynomials on any fields have at most n roots"

il campo $F$ corrisponde a $\mathbb{Z}_p[x]$/$h(x).$

Quello che ho capito è che la radice di un elemento in $F$ è un polinomio, e che poichè un polinomio si costruisce in termini di elevamenti a potenze, prodotti e somme di 1 indeterminata.....si può trattare in $\mathbb{Z}_p[x]$ un numero complesso come 1 indeterminata. Pertanto parlare di polinomi o di numeri complessi come radici di $Q(Y)$ è la stessa cosa.

è possibile? Ha senso questa traduzione? e soprattutto ha senso questo concetto?

[PL]

penso che il concetto sia: definisco un polinomio Y che ha come indeterminata un elemento in F, ovvero un polinomio in X. Siccome sul polinomio posso fare operazioni come elevazione a potenza, moltiplicazione per una costante, somma, posso definire un ordine n del polinomio in Y e quindi, in analogia a quanto avviene nel mondo $CC[x]$ un polinomio in Y di ordine n avrà al massimo n radici in F...

molto azzardata questa cosa.. inoltre, un polinomio $in CC[x]$ ha esattamente n radici, dove n è l'ordine del polinomio...

[nochipfritz]

Dato che questa formulazione è azzardata, mi servirebbe trovare una trattazione formale sull'argomento. Dove posso trovare, in rete, dei tutorial, paper o libri che trattano questi argomenti?

[lupo grigio]

Premesso che il titolo del messaggio è un poco ‘scoraggiante’ in quanto chi risponde potrebbe essere accusato di nutrire un elevato grado di ‘autostima’, diciamo che la frase ‘dubbia’ riportata lo diviene meno se accompagnata da alcune spiegazioni. La prima riguarda la dizione ‘$\mathbb{Z}_p[x]$/$h(x)$, la quale deve intendersi come ‘insieme dei polinomi modulo $h(x)$ con coefficienti in $ZZ_p$’. La definizione $p(x)=q(x) mod h(x)$ deve intendersi come il resto ottenuto dalla divisione di $p(x)$ per $h(x)$, ossia è…

$q(x)= g(x)*h(x)+ p(x)$ (1)

Se $n$ è il grado di $h(x)$ [il quale è chiamato polinomio generatore…] il numero $N$ di polinomi distinti modulo $h(x)$ sarà al più pari al numero di polinomi di grado $n-1$ in $x$, vale a dire $p^n$. Se è $N=p^n$ allora $h(x)$ si dice avere ‘massima periodicità’. In tal caso le soluzioni dell’equazione $x^(N-1)-1=0$ [ovvero le radici $N-1$-esime dell’unità…] saranno gli $N-1$ polinomi diversi dal polinomio nullo.

Facciamo un esempio con $p=2$ e $n=4$. Si può dimostrare che $h(x)=1+x+x^4$ è a massima periodicità, ossia le radici distinte dell’unità sono $N-1=15$. Eccole qui rappresentate…

$x^0=1$
$x=1=x$
$x^2=x^2$
$x^3=x^3$
$x^4=1+x$
$x^5=x+x^2$
$x^6=x^2+x^3$
$x^7=1+x+x^3$
$x^8=1+x^2$
$x^9=x+x^3$
$x^10=1+x+x^2$
$x^11=x+x^2+x^3$
$x^12=1+x+x^2+x^3$
$x^13=1+x^2+x^3$
$x^14=1+x^3$
$x^15=x^0=1$

…

Naturalmente ci sarebbero ancora un sacco di cose da dire, ma spero questo basti come ‘aperitivo’…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Ravok]

inoltre, un polinomio $in CC[x]$ ha esattamente n radici, dove n è l'ordine del polinomio...

Mi sa che non è vero
Prendi $x^2-1$
radici: $1$ $-1$ $i$ $-i$
ciao

[Tipper]

Ma $i$ e $-i$ non risolvono $x^2-1=0$... è questo che intendevi?

[Ravok]

Ma $i$ e $-i$ non risolvono $x^2-1=0$... è questo che intendevi?

Ehilà che svistone
Si era quello che intendevo, ma non è vero ovviamente.. certe cose meglio pensarle prima di scriverle

[PL]

Ma $i$ e $-i$ non risolvono $x^2-1=0$... è questo che intendevi?

Ehilà che svistone
Si era quello che intendevo, ma non è vero ovviamente.. certe cose meglio pensarle prima di scriverle

beh... nn l'ho inventato io... è un teorema dimostrato e discende da Gauss penso... quindi è più che confermato, fidati