[EX] A Problem on Infinite Nested Radicals

[gugo82]

Problem:

Does there exist any $x >= 0$ such that the following equality:

$x + sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(...)))) = x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(...))))$

holds?

[megas_archon]

Les úniques solucions són $x = 0$ i $x = 2$: pel que fa a $0$, no cal fer cap càlcul: és evident que és una solució. Així doncs, a partir d'ara $ x> 0 $ (també és evident que no pot ser $ x <0 $).

Per al costat esquerre de l'equació, estem buscant un nombre real $a$ tal que $ a = x + \sqrt{a} $, és a dir, un nombre real $ a $ que sigui la solució de l'equació de segon grau $ a ^ 2 - ( 2x + 1) a + x ^ 2 = 0$. Per al costat dret, busquem un nombre real $ b $ tal que $ b = x \sqrt{b} $, és a dir, $ b = x ^ 2 $.

Ajuntant-ho tot, i imposant que $ a $ (solució de la seqüència definida per recurrència a l'esquerra) sigui igual a $ b $ (solució de la recurrència a la dreta), obtenim una equació en $ x $, que té com única solució $ 2 $, sota les condicions ja indicades.

[gio73]

Why are you kidding?
Please write in English here
Out of curiosity... What language is it?

[gabriella127]

Mi sa che è catalano.

[j18eos]

Nice problem: can I print (in spoiler) a solution?

[gugo82]

@ megas_archon: Shumë faleminderit per pergjigjen.
Një gjë interesante që mbetet për t'u demonstruar është konvergjenca e atyre shprehjeve me radikalët. Pasi të bëhet kjo, përgjigja është e plotë.

[j18eos]

@gugo82

[@melia]

@ megas_archon: Shumë faleminderit per pergjigjen.
Një gjë interesante që mbetet për t'u demonstruar është konvergjenca e atyre shprehjeve me radikalët. Pasi të bëhet kjo, përgjigja është e plotë.

Albanese?

[gugo82]

@ megas_archon: Shumë faleminderit per pergjigjen.
Një gjë interesante që mbetet për t'u demonstruar është konvergjenca e atyre shprehjeve me radikalët. Pasi të bëhet kjo, përgjigja është e plotë.

Albanese?

Po.

[Bokonon]

First step: Let's define a function $f(x)=x+sqrt(f(x))$ where $f(x)>=0$
We want to prove by induction, that's a recursive function (just because we can).
Since $x+sqrt(f(x))=x+sqrt(x+sqrt(f(x))) rArr x^2+f(x)+2xsqrt(f(x))=x^2+[x+sqrt(f(x))=f(x)]+2xsqrt(x+sqrt(f(x))) rArr sqrt(f(x))=sqrt(x+sqrt(f(x))) rArr f(x)=x+sqrt(f(x))$
By substitution, the process can be repeated ad infinitum.
By expanding the function into an infinite sum, we have that $f(x)=x + sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(...))))$

Second step: Let's define a second function $g(x)=xsqrt(g(x))$ where $ { ( g(x)=0 if x=0 ),( g(x)>0 if x!=0 ):} $
Hence, the following identity holds true $g(x)[x^2-g(x)]=0$ only for $g(x)=0$ and $g(x)=x^2$

Third step: let's find out for which values of $x$ the identity $f(x)=g(x)$ is true.
For $x=0$ follows that $f(0)=0+sqrt(0)=0$ The identity holds true, hence $x=0$ is a solution.
For $x!=0$ $f(x)=g(x)=x^2 rArr x+sqrt(x^2)=x^2 rArr x=2$

Final step: Let's choose $g(x)= x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(...))))=xsqrt(g(x))$ and prove that it satisfies our definition.
$g(x)=0$ only and only if $x=0$ Check!
$g(x)=prod_(n = 0)^(oo) x^[(1/2)^n]=x^(sum_(n=0)^(oo) (1/2)^n)=x^2$ Check!