dimostrazione di un teorema.

[nochipfritz]

Salve,
sto cercando una dimostrazione COMPLETA del seguente teorema.

Indicando con Vp(n) la potenza alla quale un primo p divide n

il teorema è :

Vp(n!) = somma per k>= 1 del floor(n / p^k)

Qualcuno può indicarmi magari l'indirizzo di un paper....che contiene tale teorema.

[eafkuor]

Cosa è il floor?

[nochipfritz]

il floor è l'approssimazione per difetto.

per esempio:
floor(3) = 3
floor(3,2)=3
floor(3,8)=3

[DavidHilbert]

Salve,
sto cercando una dimostrazione COMPLETA del seguente teorema.

Indicando con Vp(n) la potenza alla quale un primo p divide n

il teorema è :

Vp(n!) = somma per k>= 1 del floor(n / p^k)

Qualcuno può indicarmi magari l'indirizzo di un paper....che contiene tale teorema.

Sia $\alpha_k$ il quoziente della divisione intera di $n$ per $p^k$, qualunque sia $k \in \mathbb{N}$. Questo significa che, per ogni $k = 1, 2, ...$, esistono esattamente $\alpha_k$ interi positivi $\le n$ tali che $p^k$ | $n!$. E allora $v_p(n!) = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k$, dove soltanto finiti termini della serie a secondo membro sono ovviamente $\ne 0$. Senonché $\alpha_k = $floor$(n/p^k)$, per ogni $k \in \mathbb{N}$. Ne segue la tesi, q.e.d.

[eafkuor]

ah, allora è meglio indicarla con $[x]$

[DavidHilbert]

ah, allora è meglio indicarla con $[x]$

...veramente $[x]$, nella notazione standard, denota l'intero più vicino ad $x$ (click)

[eafkuor]

Ti giuro che non lo sapevo, il mio libro di testo usa quel simbolo per indicare la parte intera di x

[DavidHilbert]

Ti giuro che non lo sapevo, il mio libro di testo usa quel simbolo per indicare la parte intera di x

Ti credo. Brucia il tuo libro.

[nochipfritz]

Noi informatici usiamo floor e ceiling per denotare rispettivamente le approssimazioni per difetto e per eccesso

Grazie Hilbert. La tua dimostrazione è pressochè simile a quello che leggo in un testo :

This follows immediately from the observation that the numbers
1, 2, . . . , n include exactly floor(n/p) multiplies of p, floor(n/(p^2)) multiplies of p^2,
and so on.

Ma non riesco a convincermi di questo fatto!
Soprattutto non capisco perchè per ogni i>Vp(n!) si ha esattamente che floor(n / (p ^ i)) = 0.

[DavidHilbert]

Soprattutto non capisco perchè per ogni i>Vp(n!) si ha esattamente che floor(n / (p ^ i)) = 0.

Se $i > v_p(n!)$, allora $p^i > n$, per la definizione stessa di $v_p(n!)$, e perciò $0 \le \frac{n}{p^i} < 1$. Dunque viene da sé che floor$(n/p^i) = 0$.

EDIT: ci stava un fattoriale di troppo!