Sia $G$ un gruppo finito, $f$ un omomorfismo di $G$ in sè per cui valga $f(g)=g^(-1)$ per almeno $3/4$ degli elementi di $G$. Dimostrare che allora $f(g)=g^(-1)$ per tutti gli elementi di $G$, e che $G$ è abeliano.
Premetto che ho la soluzione, che l'ho sbirciata e ho notato che la mia idea di fondo (che ora espongo) è giusta, ma non riesco a concludere praticamente, e come fa il mio prof non mi garba per niente, in particolare un passaggio lo trovo brutto e complicato. Chiedo quindi aiuto al forum, speranzoso come sempre.
L'idea è dimostrare che $H={ginG|f(g)=g^(-1)}$ è un sottogruppo di $G$. Se infatti così fosse, tale sottogruppo avrebbe ordine $>= [3/4|G|]+1$, dove con $[x]$ indico il minimo intero che non supera $x$, e in particolare dunque $|H|>[|G|/2]+1$, e allora avrebbe indice minore di $2$, possibile solo se $H$ è $G$ stesso (oppure basta dire "per il teorema di Lagrange"). Convinto che sia una buona strada, dimostro agile che $e$, l'elemento neutro sta in $H$ e che se $x$ sta in $H$ allora ci sta anche $x^(-1)$. Manca solo la chiusura. Ossia che presi $x,y in H$, dovrebbe essere che $xy in H$, ovvero che $f(xy)=(xy)^(-1)=y^(-1)x^(-1)$. Ma dato che $f$ è omomorfismo, $f(xy)=x^(-1)y^(-1)$,e allora la proprietà di chiusura si traduce in $xy=yx$ per ogni $x$ e $y$ in $H$, ovvero che $H$ sia abeliano. Dat oche devo dimostrare anche che $G$ è abeliano, provo a fare subito questo (Anche perchè se dimostro che $H$ è abeliano, ossia completo la dimostrazione che è un sottogruppo e che quindi è uguale a $G$, allora è ovvio che anche $G$ è abeliano. Ma dimostrare che $G$ è abeliano a senso mi risulta più facile, dato che posso parlare di $Z(G)$, mentre non credo si possa parlare di centro di $H$. dato che $H$ non so ancora se è un sottogruppo..).
Dunque:$G$ è abeliano $<=>$ $Z(G)=G$, ma per questo è sufficiente che $H subset Z(G)$, in quanto $Z(G)$ sarebbe un sottroguppo di indice minore di $2$, e dunque sarebbe tutto $G$. La proprietà $H subset Z(G)$ , ovvero $hinZ(G)$ $forall h in H$, si traduce in $Z(h)=G$ per ogni $h in H$. Questo è il punto in cui mi blocco. Come dimostro che $Z(h)=G$ per ogni $h in H$? Fatto questo, ho finito.
Mi rivolgo a voi. Grazie come sempre.