Ciao,
sto cercando di capire se c'è una regola generale per capire il numero di soluzioni di equazioni e sistemi di vario tipo.
Andiamo per gradi:
1) Il caso più semplice di equazioni lineari (che sia a una o più incognite) è che la soluzione è: una, nessuna, infinite. Questo anche per i sistemi lineare se consideriamo una n-upla come "una soluzione" avremo i casi una nessuna infinite.
2) Se passiamo a equazioni di secondo grado ad una incognita avremo per il thm fondamentale dell'algerba n soluzioni complesse (quindi le reali saranno n o inferiori). Infinite ad esempio x^2=x^2 ecc. come sopra.
Fin qui mi pare ok.
3) Il problema lo trovo però per equazioni e sistemi di secondo grado $>=2$ a più incognite ad esempio x*y=4 ne ho infinite, mentre per sistemi di secondo grado a più incognite solitamente ho tante soluzioni quanto è il grado?
Un esempio il sistema di equazioni è di quarto grado $x^2+y^2=37, xy=6$ e ha 4 soluzioni.
a) Ma ci sono casi di sistemi con infinite soluzioni? Per quanto riguarda nessuna credo proprio di si.
b) E ancora le equazioni di secondo grado a più incognite hanno massimo 2 soluzioni e non 3? ad esempio..
Vorrei crearmi mentalmente una tassonomia ma non riesco a capire bene come funzioni.
EDITO (aggiungo alcune considerazioni):
vorrei aggiungere alcune ulteriori considerazioni che purtroppo mi sono accorto tardi di non aver inserito ma attendevano moderazione.
c) quando dico che una equazione di primo grado in una incognita ha infinite o nessuna soluzione intendo che potrei far "rientrarez" in questa categoria le identità 3=3, intendendola come equazione di primo grado e quindi ovviamente con soluzione per ogni x. E le equaazioni impossibili 3=4 (o almento il mio libro del liceo le faceva rientrare).
d) non riesco però a capire se valga qualcosa del genere anche per quelle di secondo grado in una incognita, voglio cioè dire se consideriamo il campo complesso ho per una equazione di secodno grado due soluzioni, ma posso rivedere parimenti 3=4 come equazione di secondo grado impossibile => nessuna soluzione possibile e l'identità 3=3 come una di secondo grado con infinite soluzioni? Mi verrebbe da dire di sì, parimenti a quelle di primo grado in una incognia
e) infine volevo chiedere se, le equazioni in due incognite ad esempio di secondo grado (per fissare le idee), avessero in effetti solo infinite soluzioni e mai due o nessuna. Ad esempio se assumo xy=3 o x+y=3 noto averne infinite. Non mi vengono idee per non averne o averne 2 soltanto