Conoscendo le proprietà delle operazioni + e x sull’insieme dei numeri relativi (un anello commutativo) possiamo dare una semplice dimostrazione delle quattro regole di moltiplicazione dei segni spesso presentate come definizioni o, peggio, convenzioni. Identificando i numeri relativi positivi con i numeri naturali, osserviamo che la definizione di prodotto incontrata in N ci porta a concludere che
(+) • (+) = (+) e proviamo a derivare da questa le altre regole di moltiplicazione per i segni.
1. Abbiamo dimostrato in precedenza che
$0 = a•0= a•[b+(–b)]= ab+a•(–b)$
quindi
$ab+a•(–b)=0$
cioè
a•(–b) = –ab
e quindi
(+) • (-) = (-)
2. In modo analogo risulta:
(–a)•b = –ab,
cioè
(-) • (+) = (-)
3. Consideriamo ora la seguente espressione:
[(-a) + (+a)] • (-b)
essendo [(-a) + (+a)] = 0, tutta l’espressione deve essere tutta uguale a 0 perché qualunque numero moltiplicato per zero diventa zero (lo abbiamo dimostrato per i numeri naturali, ma potremmo rifarlo allo stesso modo per i relativi), cioè
[(-a) + (+a)] • (-b) = 0
che per la proprietà distributiva diventa
[(-a) • (-b)] + [(+a) • (-b)] = 0
sappiamo già che l’espressione [(+a) • (-b)] = -ab perché dimostrato in precedenza, quindi
[(-a) • (-b)] + (-ab) = 0
ma l’esistenza del simmetrico ci garantisce che
[(-a) • (-b)] = ab
e quindi
(-) • (-) = (+)
Una volta definite le operazioni in \( \displaystyle \mathbb{Z} \) la regola dei segni si dimostra. Definito \( \displaystyle \mathbb{Z} \) come il quoziente \( \displaystyle \mathbb{N} \times \mathbb{N} / \sim \) dove \( \displaystyle (a,b) \sim (c,d) \) se e solo se \( \displaystyle a+d=b+c \) con le operazioni \( \displaystyle (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) \) e \( \displaystyle (a,b) \cdot (c,d) = (ac+bd,ad+bc) \) , indicato \( \displaystyle (a,0) \) con \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle (0,a) \) con \( \displaystyle -a \) la regola dei segni segue facilmente. Infatti \( \displaystyle (-1)(-a) = (0,1) \cdot (0,a) = (a,0) = a \) . Non vedo problemi di interpretazione.Luca.Lussardi ha scritto:Sì, sono tutte osservazioni corrette, ma sono tutti cani che si mordono la coda secondo me: perchè mai $\ZZ$ è un anello? proprio perchè si adotta la regola dei segni. Per questo secondo me è "sbagliato" dire che è una regola che si dimostra; è vero che si dimostra in un anello, ma non si dimostra per i numeri interi. Io per essa mi affido alla teoria degli insiemi ZF dentro la quale si costruisce $\NN$ e quindi $\ZZ$.
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