Omomorfismi tra anelli

[Mondo]

Il problema originario mi chiede di determinare se esiste un omomorfismo $\phi$ tra $ZZ_8$ e $ZZ_77^(*) $ ove con $ZZ_77^(*) $ indico l'insieme degli invertibili di $ZZ_77$ con la moltiplicazione, tale che $\phi([5]_8)=[24]_77$
Ora io mi calcolo l'ordine di 24 in $ZZ_77^(*)$ e osservo che non divide l'ordine di 5 in $ZZ_8$ e finisco.
Tuttavia nella soluzione leggo che si può concludere che l'omomorfismo effettivamente non esiste solo perchè 8 NON divide l'ordine di 24 in $ZZ_77^(*)$. Ora io mi chiedo, ma la condizione necessaria e sufficiente non è che 8 SIA DIVISO dall'ordine di 24 in $ZZ_77^(*)$?
Ossia se io trovassi un x tale che il suo ordine in $ZZ_77^(*) $ è 16, l'omomorfismo tra $ZZ_8 e $ $ZZ_77^(*) $ tale che $\phi([5]_8)=[x]_77$ esiste oppure no?

[GreenLink]

Non puoi avere un elemento di periodo 16 in un gruppo di ordine 60.

[Mondo]

ok, ma in generale posso avere un omomorfismo da A a B tale che mandi l'elemento a di A di ordine p in un elemento b di B di ordine, che so, 2p?