Sia $G$ il gruppo delle matrici $2x2$ $((a,b),(c,d))$ dove $a,b,c,d$ sono interi modulo $p$ con $p$ numero primo e tali che $ad-bc!=0$. $G$ è un gruppo rispetto al prodotto di matrici. Qual'è l'ordine di $G$?
Sia poi $H$ il sottogruppo di $G$ definito da:
$H={((a,b),(c,d))inG | ad-bc=1}$.
Qual'è l'ordine di $H$?
(L'esercizio è tratto dallo Hernstein)
Nel caso $p=2$ si ha $a,b,c,d in {0,1}$ e tenendo conto della relazione $ad-bc!=0$ si ottiene:
$G={((1,1),(1,0)), ((1,1),(0,1)), ((1,0),(0,1)), ((0,1),(1,0)), ((0,1),(1,1)), ((1,0),(1,1)) }$ da cui segue che l'ordine di $G$ è $6$; mentre $H={ ((1,0),(0,1)) }$ con $|H|=1$.
Nel caso $p=3$ lo Hernstein afferma che si ha $|G|=48$ e questo lo potrei facilmente provare calcolandomi tutte le varie combinazioni con $a,b,c,d in {0,1,2}$.
Ma nel caso generale come posso procedere? ossia c'è un procedimento che mi faccia stabilire qual'è l'ordine di $G$ e di $H$ senza fare esplicitamente tutti i conti?