Interi gaussiani

[Augosoma]

ciao a tutti,
devo dimostrare che presi $alpha,beta in ZZ[i]$ con $beta!=0 $ $EE gamma,rho in ZZ[i]$ tali che $alpha=betagamma+rho$ e $N(rho)<N(beta)$ con N intendo la norma, in poche parole esistono quoziente e resto.
Io sto provando a dimostrarlo così
poniamo
$alpha=a+ib
$beta=c+id
$gamma=x+iy
$rho=e+if
quindi provo a trasformare la nostra richiesta in un sistema di equazioni diofantee, cioè:
$\{(a-e= cx - df),(b-f = cy + dx):}$
ora il problema è l'esistenza delle x e y perchè per essere risolvibile tale sistema innanzitutto dobbiamo avere che D=MCD(c,d) divida sia a-e che b-f e da qui sappiamo che che $N(rho)<N(beta)$ perchè scegliendo e ed f come i più piccoli valori tali che a-e ed b-f siano divisibile per D abbiamo che $N(beta)>=2D^2>e^2+f^2$
quindi mi resta da dimostrare solo l'esistenza ma mi sto incasinando come al solito..secondo voi cmq l'idea è corretta o mi sto incasinando per niente e c'è un metodo più breve..