megas_archon ha scritto: Il problema è che non sai perché è lecito supporre che $f$ esista, a certe condizioni sulla sua calcolabilità e sulla natura di $A$?
Solitamente questo genere di cose si dimostrano per induzione, che in questo caso sarà transfinita sulla cardinalità di $A$.
Diciamo che è un'assunzione che questa $f$ esiste ed è calcolabile, ma basta assumere che ne esiste una e si può dimostrare che esiste un'$f'$ calcolabile che fa una cosa analoga, anche se magari è diversa da $f$.
Dato un sotto insieme di formule finito di $A$ inziamo a provare tutte le assegnazioni alle variabile presenti in questo insieme (che sono finite), la prima che le verifica tutte (che deve esistere per via dell'esistenza di $f$) la prendiamo e lasciamo $V$ a tutte le altre variabili non occorrenti in questo insieme, seguiamo questo procedimento, che si deve arrestare per forza, dato un qualsiasi sottoinsieme di formule di $A$.
Il mio problema è che devo tirare fuori una $I$ (interpretazione) particolare e determinare come calcolarla a partire dall'esistenza di una $f$ in generale.Il procedimento per dimostrare che esiste $I$ è relativamente semplice.
Si enumerano tutte le formule dell'insieme $A$ dato che abbiamo assunto che non solo è numerabile è anche effettivamente numerabile e c'è un sistema calcolabile per stabilire se una formula appartiene o meno a questo insieme.
$A_1$
$A_2$
$A_3$
$...$
E si inizia a provare a dare delle assegnazioni alle variabili presenti in $A_1$ (le variabili in $A_1$ sono finite, se ci sono ad esempio $P$ e $Q$, le ordiniamo e proviamo le assegnazioni in ordine $VV$ $VF$ $FV$ $FF$), appena ne troviamo una che verifica $A_1$ (perché una dovrà pur esserci dato che abbiamo assunto che esiste $f$) andiamo avanti lasciando fissi i valori di queste variabili casomai occorressero in altre formule e cerchiamo un'assegnazione che va bene per $A_2$, ora o andiamo avanti senza intoppi e la troviamo quella che li verifica tutte le $A_n$ oppure siamo costretti quando arriviamo in un punto dove si genera un'incongruenza (= non riusciamo a rendere vera la formula esaminata in base alle assegnazioni precedenti) a tornare indietro e provare la successiva assegnazione nella formula precedente, se anche qua falliscono tutte in base ai valori già assegnati in precedenza torniamo indietro e ne proviamo un'altra, tornando indietro in questo modo non possiamo fallire però sempre esaurendo tutte le possibili assegnazioni di ogni formula perché abbiamo assunto che i sottoinsiemi finiti di formule di questo insieme possiedono un'interpretazione che rende vere tutte le loro formule, se falliamo a ritroso mostriamo che per un segmento finito iniziale non esiste questa interpretazione.
Un po' alla volta questo procedimento riuscirà a dare un'assegnazione a tutte le variabili perché prima o poi rimarranno fissati i valori dei segmenti iniziali di quell'elenco (dato che le possibili scelte di assegnazioni per ogni formula sono finite, un numero finito di volte possono cambiare, una volta che un'assegnazione fallisce), ma facendo così non si riesce a stabilire in generale dopo quanti passi resteranno fissati questi valori e quindi non si riesce a tirare fuori una funzione calcolabile che fissi il valore di ogni variabile per bene (o almeno io non ci riesco in generale), se ci sono ancora delle possibilità aperte in $A_1$ ad esempio dopo milioni e milioni e milioni di passi non si riesce ancora a stabilire se le assegnazioni resteranno sempre queste indefinitamente o no, pur sapendo per via logica e argomentativa che da un certo punto in poi seguendo questo procedimento resteranno fissate per forza e non potranno variare sempre, manca una condizione di arresto, a meno che per certe formule $A_n$ non si sono esaurite tutte le possibilità e in qualche caso e ne è rimasta una sola, non si riescono a fissare certi valori di questa $I$ (in termini effettivi però).
Se dico "I valori della $I$ che soddisfa tutte le formule sono i valori che restano fissi da un certo punto in poi del procedimento", $I$ resta determinata ma non riesco a calcolarla in generale.
Insomma non si riesce a stabilire da quale punto in poi resteranno fissati i valori della prima, quanti passi occorrono per fissare i valori della seconda e così via, ma si afferra che i valori di ognuna resteranno fissati dopo un certo numero di passi finito (che varierà per ogni formula ovviamente).
Data una formula di quell'elenco questo numero di passi finito minimo per cui non varierà più i suoi valori seguendo questo procedimento si riesce a capire che per ogni formula deve esistere, ma non si riesce ad individuare di preciso in generale quanti passi siano necessari per ognuna.
In casi particolari credo che sicuramente si riesce a tirare fuori questa $I$, ad esempio se sappiamo che l'insieme $A$ è composto da formule atomiche che contengono un'unica variabile andrà bene la funzione che assegna a tutte $V$ ed è calcolabile, ma sapendo solo queste cose qua generali che ho assunto all'inizio e non avendo altre informazioni io riesco a tirare fuori solo questo procedimento parziale qua e può essere che in certi casi non sia calcolabile questa $I$.
Chiedevo in pratica se esistesse un procedimento generale che faccia capire che questa $I$ è sempre calcolabile in base alle premesse.Il mio procedimento è parziale e non riesce a dimostrarlo questo.
) o è una cosa che non si può fare in generale? 
