Notazione poco chiara, anelli quoziente e campi

[Martino]

Sì è giusto ma va spiegato, quale sarebbe la cardinalità di $A_7$? (E perché?)

[Desirio]

Sì è giusto ma va spiegato, quale sarebbe la cardinalità di $A_7$? (E perché?)

La cardinalità di $A_{7}$ è quella dell'insieme dei polinomi $P = { x^{2} + \bar{b} x + \bar{c} | \bar{b}, \bar{c} \in \frac{Z}{3Z} }$ - ogni elemento in $A_{7}$ appartiene alla sua classe di resto modulo $f_{7}$ e tutte le classi di resto modulo $f_{7}$ sono quelle rappresentate da un polinomio di secondo grado a coefficienti in $\frac{Z}{3Z}$ dove il coefficiente di $x^{2}$ l'ho preso uguale a $1$ perché se fosse diverso da $1$ potrei moltiplicarlo per il suo inverso che esiste sempre.)

La cardinalità di $A_{7}$ dovrebbe essere $9$.




Se esistesse un omomorfismo $\phi: A_{7} \rightarrow \frac{Z}{3Z}$ allora il nucleo $Ker(\phi)$, ideale di $A_{7}$ - che è un campo -, sarebbe o tutto $F$ o ${0_{A_{7}}}$. Essendo che entrambi i campi hanno l'unità deve essere $\phi(1_{A_{7}}) = \bar{1}$ quindi non possiamo prendere un omomorfismo nullo ... Allora necessariamente $Ker(\phi) = {0_{A_{7}}}$.






Più tardi finisco il ragionamento.. Intanto mi puoi dire se la cardinalità di $A_{7}$ è corretta?

[Martino]

La cardinalità di $A_7$ è $3^3=27$ perché devi prendere le classi di $ax^2+bx+c$.

[Desirio]

La cardinalità di $A_7$ è $3^3=27$ perché devi prendere le classi di $ax^2+bx+c$.

Ok grazie...