Polinomio e radici

[francicko]

Come si dimistra che un polinomio di grado $n$, con coefficienti nel campo complesso, ha esattamente $n$ radici, contate con la dovuta molteplicità, nel campo complesso?
Sicuramente si fa riferimento al teorema fondamentale dell'algebra, ed al teorema di Ruffini, iterandolo, ma questo mi dice che il polinomio si scompone completamente in fattori lineari del tipo $(x-r_i) $ dove $r_i$ è una generica radice, ma non che le radici debbano essere in numero esattamente $n$, mi sbaglio?

[megas_archon]

Sicuramente si fa riferimento al teorema fondamentale dell'algebra

non è che ci si fa riferimento, è proprio il teorema fondamentale dell'algebra.

ma questo mi dice che il polinomio si scompone completamente in fattori lineari, [...] non che le radici debbano essere in numero esattamente $n$.

E però un polinomio non può avere più fattori lineari di quanto è il suo grado (proprio perché il grado è ben definito, e un omomorfismo di monoidi \((K[t],\cdot)\to (\mathbb N,+)\)): il fatto è che \(p(a)=0 \iff x-a\mid p(x)\), cosicché puoi ragionare per induzione sul grado di $p$ e trovare che (ovviamente) un polinomio non nullo di grado 0 ha al più zero radici, e se un polinomio di grado $n+1$ ha una radice, allora lo scrivi come \(p = (x-a)q\), con $q$ di grado $n$, a cui puoi applicare l'ipotesi induttiva.

Come sempre poi, ciascuno di questi asserti sta nei più malfamati libri di algebra tu possa trovare in circolazione...