Prego!
krakken ha scritto:Non ci avrei mai pensato.
Non lo devi fare per forza così: puoi anche dimostrare che da \(x \in (-1/n,1/n)\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) segue che \(|x|<\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\). Da quest'ultima, segue \(x=0\). Però, di fatto, è la stessa cosa riscritta in altri termini. Alla fine, la cosa importante è l'idea che c'è dietro: dato che nell'intersezione numerabile puoi "stringere" \((-1/n,1/n)\) quanto vuoi, se un numero reale \(x\) è diverso da \(0\) hai "spazio" tra \(x\) e \(0\) e quindi, prima o poi, a forza di stringere \((-1/n,1/n)\) il numero \(x\) si trova fuori da \((-1/n,1/n)\); la possibilità di stringere quanto vuoi è data dal fatto che stai intersecando su tutti i possibili naturali non nulli. La formalizzazione di questa cosa molto intuitiva è quella suddetta.
krakken ha scritto:Così su due piedi mi ricorda tanto la proprietà archimedea dei reali: fisso x<0 e 1 reali e trovo l'n relativo che rende vera l'uguaglianza.
Sì, esatto.
krakken ha scritto:Se non ti scoccia vorrei chiederti un approfondimento qui...
...Non so come spiegarlo meglio, ma volevo capire se è questo il motivo diciamo
Sì, dal punto di vista logico l'intersezione è collegata con la congiunzione; significa che devi stare nell'insieme indicizzato dal numero naturale per qualunque numero naturale. Basta che ne esista uno in cui non stai e non è più vera la congiunzione logica (e quindi non stai nell'intersezione numerabile).
krakken ha scritto:PS: dimenticavo, come mai è sbagliato dire "intersezioni arbitrarie"? per arbitrarie quindi si intende intersezioni sul continuo? non ho ben capito, pensavo arbitrarie fosse inteso come "infinite" sui naturali tutti.
No, non si intende necessariamente "sul continuo"; tuttavia, pensare alla differenza tra numerabile e non numerabile aiuta a capire perché "numerabile" e "arbitraria" sono due cose diverse. L'insieme di indici su cui intersechi potrebbe essere non numerabile (pensa, ad esempio, a cerchi di centro l'origine e raggio \(r>0\) che intersechi su \(r>0\)) o anche su insiemi completamente orripilanti che sono indicizzati da delle condizioni particolari (tipo quella di essere nell'insieme dei numeri irrazionali nell'intervallo \([0,1]\). Quest'ultimo è ancora non numerabile, ma è più inusuale rispetto a un non numerabile più familiare come un qualsiasi intervallo proprio di \(\mathbb{R}\). Quindi, con arbitraria si intende che l'insieme degli indici è un insieme qualsiasi, per cui non è necessariamente un insieme numerabile o non numerabile. Se studi matematica, solitamente si inizia ad avere a che fare di più con queste cose quando si fa topologia. Se studi altro, non so se vedrai mai queste cose.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.